2009-北京卷理-09 填-函数

本题导读

本题考查函数的极限、因式分解与约分，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察分子，提取公因式 $x$，使其化为 $x(\sqrt{x}-1)$。
2. 将分母 $x-1$ 利用平方差公式分解为 $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$。
3. 约去共同的零因子 $\sqrt{x}-1$，再直接代入 $x=1$ 求解极限值。

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：对极限式的分子、分母分别进行因式分解变形： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x}-x}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{x(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ 因为 $x\to 1$ 且 $x\ne 1$，所以 $\sqrt{x}-1\ne 0$，可以将其约去： $={\lim }_{x\to 1}\frac{x}{\sqrt{x}+1}$ 直接将 $x=1$ 代入简化后的式子中： $=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$ 填空答案：$\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数分式的因式分解技巧；极限的四则运算法则。
2. 核心方法：因式分解消除零因子法。
3. 避坑指南：切忌直接把 $x=1$ 代入原式，会得到没有意义的 $\frac{0}{0}$ 型。处理这类式子时，必须先通过变形把分母中趋近于 0 的因式约掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中极限概念与导数定义引论章节的基础练习题。
2. 结论推广：设 $g(x)=x\sqrt{x}-x$，由于 $g(1)=0$，该极限在高等数学背景下实际上代表函数 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的导数定义式，即 ${\lim }_{x\to 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=g^{\prime }(1)$。求导可得 $g^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-1⟹g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性