2009-北京卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率、二项分布模型。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.

(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问，“到第三个路口首次遇到红灯”属于独立事件的乘法结构，意味着第一、第二个路口为绿灯（或不遇红灯），第三个路口为红灯。
2. 第二问，设遇到红灯的次数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B\left(4,\frac{1}{3}\right)$。总停留时间 $\xi =2X$，从而确定 $\xi$ 的可能取值，利用二项分布公式求出各取值概率列出分布列，最后由期望的线性性质 $E(2X)=2E(X)$ 快速求得期望。

✅【答案】

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（1）到第三个路口时首次遇到红灯，表示前两个路口未遇到红灯且第三个路口遇到红灯，所以所求概率为(23)2

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 记“这名学生在第 $i$ 个路口遇到红灯”为事件 $A_i(i=1,2,3,4)$。则 $P(A_i)=\frac{1}{3}$，其对立事件 $P({\bar{A}}_i)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 设“到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 $B$，则 $B={\bar{A}}_1{\bar{A}}_2{A}_3$。 由于各路口信号灯情况相互独立，故： $P(B)=P({\bar{A}}_1)P({\bar{A}}_2)P(A_3)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$ 所以，到第三个路口时首次遇到红灯的概率为 $\frac{4}{27}$。

(2) 设这名学生在上学路上遇到红灯的次数为 $X$，由题意知 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$。 因遇到红灯停留的总时间 $\xi =2X$，所以 $\xi$ 的可能取值为 0, 2, 4, 6, 8。 对应取值的概率计算如下： $P(\xi =0)=P(X=0)={\text{C}}_4^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$ $P(\xi =2)=P(X=1)={\text{C}}_4^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{32}{81}$ $P(\xi =4)=P(X=2)={\text{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{24}{81}$ $P(\xi =6)=P(X=3)={\text{C}}_4^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^1=\frac{8}{81}$ $P(\xi =8)=P(X=4)={\text{C}}_4^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4{\left(\frac{2}{3}\right)}^0=\frac{1}{81}$

所以随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	2	4	6	8
$P$	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

由于 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$，故 $X$ 的数学期望为 $E(X)=4\times \frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。 根据数学期望的线性性质，因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=E(2X)=2E(X)=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验（二项分布）的概率模型；离散型随机变量分布列的规范书写与期望计算。
2. 核心方法：建构模型法。通过将总时间 $\xi$ 关联到红灯次数 $X$ 上，直接套用经典二项分布进行降维打击。
3. 避坑指南：

• 分布列中随机变量对应的取值是总时间 $\{0,2,4,6,8\}$，而非次数 $\{0,1,2,3,4\}$，不要张冠李戴。
• 分布列列出后，务必将所有概率分子相加（$16+32+24+8+1=81$）进行归一化校验，防止中途算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中独立重复试验与概率分布数字特征章节的典型生活化应用大题。
2. 结论推广：若随机变量 $\xi =aX+b$ 且 $X\sim B(n,p)$，则其分布列的期望值可直接通过期望性质公式 $E(\xi )=a\cdot np+b$ 进行快捷计算与核验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率