2009-四川卷文-06 单-六棱锥线面关系

本题导读

考查六棱锥综合。$\tan \angle PDA=\frac{PA}{AD}=\frac{2AB}{2AB}=1$，所成角 $45^{\circ }$，D 正确；A、B、C 经检验均错，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 如图，已知六棱锥 $P-ABCDEF$ 的底面是正六边形，$PA\perp$ 平面 $ABC$，$PA=2AB$，则下列结论正确的是 ()

A. $PB\perp AD$　　　　　　　　B. 平面 $PAB\perp$ 平面 $PBC$

C. 直线 $BC\parallel$ 平面 $PAE$　　　D. 直线 $PD$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 错：$AB$ 与 $AD$ 夹角 $60^{\circ }$，$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\ne 0$。
2. B 错：$\angle ABC=120^{\circ }$，$BC$ 不垂直 $AB$，两平面不垂直。
3. C 错：$BC\parallel AD$，而 $AD$ 与平面 $PAE$ 交于 $A$，$BC$ 不平行于平面 $PAE$。
4. D 对：正六边形 $AD=2AB$，$\tan \angle PDA=\frac{PA}{AD}=1$，角为 $45^{\circ }$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

正六边形 $ABCDEF$ 中，$AD$ 是过中心的对角线，$AD=2AB$，且 $BC\parallel AD$。 A：$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|AB|\cdot |AD|\cos 60^{\circ }\ne 0$，故 $PB$ 与 $AD$ 不垂直，A 错。 B：$\angle ABC=120^{\circ }$，$BC$ 不垂直于 $AB$，平面 $PAB$ 与平面 $PBC$ 不垂直，B 错。 C：$BC\parallel AD$，而 $AD$ 与平面 $PAE$ 相交于点 $A$，故 $BC$ 不平行于平面 $PAE$，C 错。 D：因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$，所以 $PD$ 与平面 $ABC$ 所成的角即 $\angle PDA$。 $\tan \angle PDA=\frac{PA}{AD}=\frac{2AB}{2AB}=1,$ 所成角为 $45^{\circ }$，D 正确。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六棱锥中的线面关系判断

核心方法：正六边形性质：$BC\parallel AD$、$AD=2AB$；线面角找射影

避坑指南：$PD$ 与底面所成角即 $\angle PDA$（$PA\perp$ 底面，$A$ 是 $P$ 的射影），$\tan =1$ 得 $45^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正六边形三组对边平行、长对角线是边长的 $2$ 倍。

结论推广：判断 $PB\perp AD$ 用三垂线定理：$AB$ 与 $AD$ 不垂直即否。

方法推广：线面平行判断：在平面内找不到与 $BC$ 平行的直线即否（$BC\parallel AD$，$AD$ 穿面）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-07 单-正六边形向量和
• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角