2008-大纲卷II理-10 单-线面位置

本题导读

本题考查空间异面直线所成角的余弦值的计算。核心方法是通过正四棱锥的对称性建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量夹角公式进行定量求解。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 已知正四棱锥 $S-ABCD$ 的侧棱长与底面边长都相等，$E$ 是 $SB$ 的中点，则 $AE,SD$ 所成的角的余弦值为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正四棱锥的各棱长均为 2，利用底面正方形中心作为原点建立空间直角坐标系。
2. 准确求出顶点 $S$ 的高度，进而写出点 $A,B,D,S$ 及中点 $E$ 的空间坐标。
3. 写出向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{SD}$ 的坐标，利用向量夹角公式求得异面直线所成角的余弦值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱锥的底面边长与侧棱长均为 2。 设底面正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$，以 $O$ 为坐标原点，分别以平行于 $AB,BC$ 且过 $O$ 的直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴， $OS$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。 则底面各顶点的坐标为： $A(-1,-1,0)$， $B(1,-1,0)$， $C(1,1,0)$， $D(-1,1,0)$。 中心 $O$ 到底面顶点的距离为 $OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 在直角 $△SOA$ 中，侧棱 $SA=2$， 则正四棱锥的高为 $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}$。 故顶点坐标为 $S(0,0,\sqrt{2})$。 因为 $E$ 是 $SB$ 的中点，由中点坐标公式得 $E$ 的坐标为： $E\left(\frac{1+0}{2},\frac{-1+0}{2},\frac{0+\sqrt{2}}{2}\right)\Rightarrow E\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 由此可计算出对应直线的方向向量： $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2}-(-1),-\frac{1}{2}-(-1),\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\overrightarrow{SD}=(-1-0,1-0,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2})$ 计算两向量的数量积与模长： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{SD}=\frac{3}{2}\times (-1)+\frac{1}{2}\times 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\times (-\sqrt{2})=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1=-2$ $|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{3}$ $|\overrightarrow{SD}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+(-\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+1+2}=2$ 设异面直线 $AE,SD$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{SD}|}{|\overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{SD}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{3}\times 2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线夹角的定义、空间向量数量积运算、正四棱锥的几何特征。
2. 核心方法：空间直角坐标系法（建系法）。
3. 避坑指南：异面直线所成的角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，其余弦值恒为非负数。利用向量夹角公式计算时，分子必须加绝对值号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何经典多面体中异面线线角计算的基础大题平移化简法。
2. 结论推广：在所有棱长均相等的正四棱锥中，侧棱与对侧棱中线所成角的余弦值恒为定值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-四川卷文-06 单-六棱锥线面关系
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角