2009-四川卷理-12 单-函数

本题导读

本题是以函数方程为载体的创新型压轴小题。主要考查偶函数的性质与抽象函数方程的递推求解，通过合理赋值寻找关键点的特殊函数值是破题的捷径。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $xf(x+1)=(1+x)f(x)$，则 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)$ 的值是 ()

A. 0　　　　　　　B. \frac{1}{2}　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. \frac{5}{2}

🔍【思路分析】

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1. 针对复合函数求值，需先计算内层函数值 $f\left(\frac{5}{2}\right)$。
2. 根据已知抽象方程，利用特殊值法，通过对 $x$ 赋予特殊的数值（如 $0,-\frac{1}{2}$ 等）配合偶函数对称性探求核心点的值。
3. 利用方程建立的递推关系，从已知点逐步推导计算出目标位置的函数值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

在恒等式 $xf(x+1)=(1+x)f(x)$ 中： 令 $x=0$，代入得： $0\cdot f(1)=(1+0)\cdot f(0)⟹f(0)=0$

令 $x=-\frac{1}{2}$，代入方程得： $-\frac{1}{2}f\left(-\frac{1}{2}+1\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)f\left(-\frac{1}{2}\right)⟹-\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(-\frac{1}{2}\right)$ 因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，所以有 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。 将此性质代入上式变形为： $-\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)⟹f\left(\frac{1}{2}\right)=0$

现在利用方程所具备的递推关系逐步向后求解： 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，代入方程得： $\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}\right)⟹\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}\times 0=0⟹f\left(\frac{3}{2}\right)=0$ 当 $x=\frac{3}{2}$ 时，代入方程得： $\frac{3}{2}f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(1+\frac{3}{2}\right)f\left(\frac{3}{2}\right)⟹\frac{3}{2}f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{2}\times 0=0⟹f\left(\frac{5}{2}\right)=0$

由此我们求出了内层函数值 $f\left(\frac{5}{2}\right)=0$。 那么原复合函数式可转化为： $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=f(0)$ 又前面已证 $f(0)=0$。 所以 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=0$。

故正确选项为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的定义 $f(-x)=f(x)$，抽象函数方程的赋值法与递推特性。
2. 核心方法：特殊值法。面对抽象复杂的函数关系式，根据式中因式（如 $x$ 与 $1+x$）的零点特性进行针对性赋值是核心技巧。
3. 避坑指南：做题时不要试图求出 $f(x)$ 的具体解析式，高中阶段直接求该抽象方程的通解较为困难且容易陷入思维死胡同，应牢记 objective 是求特定点的数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学中差分方程与伽马函数性质的初等数学简化版。通过奇偶性与特殊因式的相互制约，构造出一种间歇性零点的离散函数特征，是高考客观题压轴位置长盛不衰的经典命题手法。
2. 结论推广：分析可知，当 $x>0$ 时，方程变形为 $\frac{f(x+1)}{x+1}=\frac{f(x)}{x}$，这表明函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 是以 1 为周期的周期函数。由于 $f(1/2)=0$，因此对于所有形如 $k+\frac{1}{2}(k\in \mathbf{Z})$ 的点，其函数值全部为 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性