2009-大纲卷I文-17 解-等差等比综合

本题导读

等差等比综合。设公差 $d$、公比 $q$，把 $a_3+b_3=17$ 与 $T_3-S_3=12$ 化为 $d$、$q$ 的方程组，解出 $q=2$、$d=2$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，公比是正数的等比数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，已知 $a_1=1$，$b_1=3$，$a_3+b_3=17$，$T_3-S_3=12$，求 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. $a_3=1+2d$，$b_3=3q^2$，$S_3=3+3d$，$T_3=3(1+q+q^2)$。
2. 两条件化为 $5q^2+2q-24=0$，结合 $q>0$ 解得 $q=2$。

✅【答案】

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$a_n=2n-1$，$b_n=3\times 2^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$（$q>0$）。由 $a_1=1$，$b_1=3$ 得 $a_3=1+2d,b_3=3q^2,$ $S_3=3+3d,T_3=3(1+q+q^2).$ 由 $a_3+b_3=17$ 得 $1+2d+3q^2=17$，即 $2d+3q^2=16$； 由 $T_3-S_3=12$ 得 $3(1+q+q^2)-3(1+d)=12$，即 $q+q^2-d=4$，故 $d=q^2+q-4$。 代入第一式：$2(q^2+q-4)+3q^2=16$，即 $5q^2+2q-24=0$，解得 $q=2$ 或 $q=-\frac{12}{5}$（舍去，因 $q>0$）。 故 $q=2$，$d=4+2-4=2$。 所以 $a_n=1+2(n-1)=2n-1$，$b_n=3\times 2^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与等比数列的基本量

核心方法：设 $d$、$q$ 列方程组

避坑指南：$5q^2+2q-24=0$ 的负根按 $q>0$ 舍去；$d$ 由 $d=q^2+q-4$ 回代求出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比综合定基本量是数列解答题的基础款。

结论推广：等差由 $a_1,d$ 完全确定，等比由 $b_1,q$ 完全确定。

方法推广：两个数列两套基本量，逐条翻译条件列方程组，不漏公比限制。

🔗【关联脉络】

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• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比