2009-大纲卷I理-03 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、分式不等式的转化，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为 ()

A. $\{x|0<x<1\}\cup \{x|x>1\}$　　　B. $\{x|0<x<1\}$　　　C. $\{x|-1<x<0\}$　　　D. $\{x|x<0\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 注意分母不为 0 的条件，即 $x\ne 1$。
2. 将绝对值不等式化为 $|x+1|<|x-1|$，通过两边平方去掉绝对值号，转化为一元一次不等式求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意知 $x-1\ne 0$，即 $x\ne 1$。 原不等式可化为： $\frac{|x+1|}{|x-1|}<1⟹|x+1|<|x-1|$ 两边同时平方得： $(x+1{)}^2<(x-1{)}^2$ 展开并化简得： $x^2+2x+1<x^2-2x+1⟹4x<0⟹x<0$ 因为当 $x<0$ 时已包含 $x\ne 1$ 的条件，因此原不等式的解集为 $\{x|x<0\}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值的不等式、分式不等式的求解。
2. 核心方法：利用两边平方的等价转化去掉绝对值号，或利用几何意义（数轴上到 $-1$ 的距离小于到 $1$ 的距离）。
3. 避坑指南：解分式不等式时需注意分母不能为 0 的隐含条件，虽本题解集 $x<0$ 自动满足了 $x\ne 1$，但在大题中需严谨书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修4-5《绝对值不等式》中关于绝对值几何意义与平方法的延伸。
2. 结论推广：不等式 $\left|\frac{x+a}{x-a}\right|<1$ （其中 $a>0$）的解集为 $\{x|x<0\}$。几何解释为：数轴上到 $-a$ 的距离小于到 $a$ 的距离的点全部位于垂直平分线（即 $y$ 轴）的左侧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式