2009-大纲卷I理-12 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质（焦点、准线、离心率）、椭圆的第二定义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，点 $A\in l$，线段 $AF$ 交 $C$ 于点 $B$. 若 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$, 则 $|\overrightarrow{AF}|=$ ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆的标准方程求出 $a,b,c$，进而确定右焦点 $F$ 坐标、右准线 $l$ 方程和离心率 $e$。
2. 借助向量条件 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$ 的横坐标投影，求出点 $B$ 的横坐标，进而得到点 $B$ 到准线 $l$ 的距离。
3. 利用椭圆的第二定义，由点 $B$ 到准线的距离直接算出焦半径 $|\overrightarrow{FB}|$，再扩大 3 倍即得 $|\overrightarrow{AF}|$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 可知： $a^2=2,b^2=1⟹c=\sqrt{a^2-b^2}=1$ 故右焦点为 $F(1,0)$，右准线 $l$ 的方程为 $x=\frac{a^2}{c}=2$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

因为点 $A\in l$，所以点 $A$ 的横坐标 $x_A=2$。 由已知 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$ 可知，点 $B$ 在线段 $AF$ 上，且其横坐标的相对关系满足： $x_B-x_F=\frac{1}{3}(x_A-x_F)$ 代入 $x_F=1,x_A=2$ 得： $x_B-1=\frac{1}{3}(2-1)⟹x_B=\frac{4}{3}$ 所以，点 $B$ 到右准线 $l:x=2$ 的距离为： $d=2-x_B=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$ 根据椭圆的第二定义 $\frac{|\overrightarrow{FB}|}{d}=e$，可得： $|\overrightarrow{FB}|=e\cdot d=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 因为 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$，所以： $|\overrightarrow{AF}|=|\overrightarrow{FA}|=3|\overrightarrow{FB}|=3\times \frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的第二定义（$\frac{r}{d}=e$）、准线方程以及向量共线的分点坐标关系。
2. 核心方法：利用向量在坐标轴上的投影比例直接锁定关键点（点 $B$）的横坐标，避免了设出点 $A$ 的纵坐标并联立直线与椭圆方程的繁琐代数运算。
3. 避坑指南：部分考生可能遗忘或不熟悉椭圆的第二定义，习惯性转向常规的联立方程法，从而导致运算量过大、在考场上限时难以解出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对圆锥曲线统一性质（焦点-准线定义）的考查，属于解析几何中的经典结论变形题。
2. 结论推广：过椭圆（或双曲线）焦点 $F$ 的直线交相应准线于 $A$，交曲线于 $B$，若满足 $\overrightarrow{FA}=\lambda \overrightarrow{FB}$，则线段 $FA$ 的长具有如下通用公式： $|\overrightarrow{FA}|=\frac{b^2|\lambda -1|}{a}$ 本题中 $a=\sqrt{2},b^2=1,\lambda =3$，代入可直接秒杀：$|\overrightarrow{FA}|=\frac{1\times |3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比