2009-大纲卷II理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系以及三角形内角的范围约束，重点考查逻辑推理与基本计算能力。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知 $△ABC$ 中, $\cot A=-\frac{12}{5}$, 则 $\cos A=$ ()

A. $\frac{12}{13}$　　　　　B. $\frac{5}{13}$　　　　　C. $-\frac{5}{13}$　　　　　D. $-\frac{12}{13}$

🔍【思路分析】

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1. 根据 $\cot A<0$ 且 $A$ 为三角形内角，判定 $A$ 为钝角，从而确定 $\cos A$ 的符号为负。

2. 利用 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$ 及 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 列方程组求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，由 $\cot A=-\frac{12}{5}<0$ 可知 $A$ 为钝角，则 $\cos A<0,\sin A>0$. 由 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=-\frac{12}{5}$，可设 $\cos A=-12k,\sin A=5k$ ($k>0$). 由 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 得 $(5k{)}^2+(-12k{)}^2=1⟹169k^2=1⟹k=\frac{1}{13}$. 所以 $\cos A=-12k=-\frac{12}{13}$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数商数关系与平方关系的应用。

2. 核心方法：利用待定系数法解决同角三角函数求值问题。

3. 避坑指南：极易忽视 $A$ 是三角形内角且 $\cot A<0$ 这一隐含条件，若漏掉判断 $\cos A$ 的正负号会导致错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于必修三角函数章末基础题，通过将角的范围约束在三角形内来增强综合性。

2. 结论推广：若 $△ABC$ 中 $\cot A=m$ ($m<0$)，则 $\cos A=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数