2009-大纲卷II理-11 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线离心率的求解，将向量关系融入焦点弦中，核心考查通过直线参数方程或坐标化方法构建关于 $a,b,c$ 的齐次式。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于 $A$、$B$ 两点, 若 $\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$, 则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{6}{5}$　　　　　　　B. $\frac{7}{5}$　　　　　　　C. $\frac{5}{8}$　　　　　　　D. $\frac{9}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 排除非法选项：双曲线离心率 $e>1$，可直接排除 C。

2. 引入过右焦点 $F(c,0)$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$（斜率为 $\sqrt{3}$）的直线参数方程。

3. 联立双曲线方程，将向量条件 $\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$ 转化为直线的有向线段参数关系（根的关系），利用韦达定理建立 $a,b,c$ 的齐次方程求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的右焦点为 $F(c,0)$，直线的斜率为 $\sqrt{3}$，则倾斜角 $\alpha =60^{\circ }$。 设直线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=c+t\cos 60^{\circ }=c+\frac{1}{2}t\\ y=t\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$ （$t$ 为参数）。 将直线的参数方程代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，整理得： $\frac{(c+\frac{1}{2}t{)}^2}{a^2}-\frac{\frac{3}{4}{t}^2}{b^2}=1⟹(b^2-3a^2)t^2+4b^{2}ct+4b^4=0$. 设 $A,B$ 两点对应的参数分别为 $t_1,t_2$。 由已知 $\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}⟹-\overrightarrow{FA}=4\overrightarrow{FB}⟹-t_1=4t_2⟹t_1=-4t_2$。 由韦达定理得： $t_1+t_2=-3t_2=\frac{-4b^{2}c}{b^2-3a^2}⟹t_2=\frac{4b^{2}c}{3(b^2-3a^2)}$ ① $t_1{t}_2=-4t_2^2=\frac{4b^4}{b^2-3a^2}⟹-t_2^2=\frac{b^4}{b^2-3a^2}$ ② 将①代入②中消除 $t_2$ 得： $-\frac{16b^4{c}^2}{9(b^2-3a^2{)}^2}=\frac{b^4}{b^2-3a^2}⟹16c^2=-9(b^2-3a^2)=27a^2-9b^2$。 将 $b^2=c^2-a^2$ 代入上式： $16c^2=27a^2-9(c^2-a^2)=36a^2-9c^2⟹25c^2=36a^2$。 故 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{36}{25}⟹e=\frac{c}{a}=\frac{6}{5}$. 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的标准方程与几何性质（离心率），直线与圆锥曲线位置关系。

2. 核心方法：巧用直线的参数方程处理带有共线向量比例的圆锥曲线弦长或位置关系问题。

3. 避坑指南：向量条件 $\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$ 中注意点的顺序，表明 $F$ 点在线段 $AB$ 内部，若转化为参数有向距离则符号相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是解析几何中利用向量关系求离心率的典型压轴选择题，背景是解析几何的焦点弦性质。

2. 结论推广：过双曲线焦点的直线交双曲线于两点，若满足 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$ 形式，均可通过极坐标或参数方程转化为关于离心率 $e$ 和倾斜角 $\alpha$ 的统一公式：$e^2(\lambda -1{)}^2{\cos }^2\alpha =...$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线