2009-大纲卷II理-16 填-均值不等式

本题导读

本题是一道解析几何与代数最值结合的压轴填空题，考查圆中垂直对角线四边形面积公式的构建，以及如何利用均值不等式求解最值。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知 $AC$、$BD$ 为圆 $O:x^2+y^2=4$ 的两条相互垂直的弦, 垂足为 $M(1,\sqrt{2})$, 则四边形 $ABCD$ 的面积的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确相互垂直的对角线四边形面积公式 $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|$。

2. 设圆心 $O$ 到两弦 $AC,BD$ 的距离分别为 $d_1,d_2$，根据弦垂直且交于 $M$，利用平面几何特征可得 $d_1^2+d_2^2=O{M}^2$。

3. 利用圆的弦长公式将 $S$ 转化为含 $d_1,d_2$ 的函数，运用基本不等式求解最大值。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $O:x^2+y^2=4$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $R=2$。 垂足为 $M(1,\sqrt{2})$，则 $O{M}^2=1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3$。 因为 $AC\perp BD$，且相交于点 $M$，设圆心 $O$ 到弦 $AC,BD$ 的距离分别为 $d_1,d_2$。 由平面几何性质（矩形对角线关系）可知：$d_1^2+d_2^2=O{M}^2=3$。 根据圆的弦长公式得： $|AC|=2\sqrt{R^2-d_1^2}=2\sqrt{4-d_1^2}$, $|BD|=2\sqrt{R^2-d_2^2}=2\sqrt{4-d_2^2}$. 四边形 $ABCD$ 的两对角线互相垂直，其面积为： $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{4-d_1^2}\times 2\sqrt{4-d_2^2}=2\sqrt{(4-d_1^2)(4-d_2^2)}$ $=2\sqrt{16-4(d_1^2+d_2^2)+d_1^2{d}_2^2}=2\sqrt{16-4\times 3+d_1^2{d}_2^2}=2\sqrt{4+d_1^2{d}_2^2}$。 由基本不等式 $d_1^2{d}_2^2\le {\left(\frac{d_1^2+d_2^2}{2}\right)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$（当且仅当 $d_1^2=d_2^2=\frac{3}{2}$ 时等号成立）。 所以 $S\le 2\sqrt{4+\frac{9}{4}}=2\sqrt{\frac{25}{4}}=2\times \frac{5}{2}=5$。 即四边形 $ABCD$ 的面积的最大值为 5。

填：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的性质中核心结论 $d_1^2+d_2^2=O{M}^2$ 的发掘，以及对角线垂直的四边形面积算法。

2. 核心方法：构建出目标函数后，巧妙将乘积项通过基本不等式转化为已知常数和。

3. 避坑指南：容易误用常规的解析联立去解，会发现运算量极大且方向迷失。记住“圆中垂直弦问题，首选圆心距离勾股转换”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何常规弦长考查的高阶变式题，几何背景深刻，涉及到圆的内接正交弦幂定理相关的几何拓扑关系。

2. 结论推广：已知圆半径为 $R$，内部定点为 $M$，过 $M$ 的两正交弦围成的四边形面积最大值为 $S_{\max }=2R^2-O{M}^2$。本题中 $2\times 4-3=5$，完全吻合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式