2009-大纲卷II理-21 解-椭圆

本题导读

本题主要考查解析几何中直线与椭圆的位置关系综合问题。第一问通过离心率与点到直线距离公式求椭圆方程；第二问将向量关系转化为坐标运算，结合韦达定理探讨动直线在特定位置时交点坐标构成的几何存在性问题。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点, 当 $l$ 的斜率为 1 时, 坐标原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求 $a$, $b$ 的值;

(2) $C$ 上是否存在点 $P$, 使得当 $l$ 绕 $F$ 转到某一位置时, 有 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 成立? 若存在, 求出所有的 $P$ 的坐标与 $l$ 的方程; 若不存在, 说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据离心率得 $a,c$ 比例，进而用 $a$ 表示 $b$；写出斜率为 1 且过焦点 $(c,0)$ 的直线方程，利用点到直线距离公式求出 $c$，从而确定 $a,b$。

2. 第二问：设出直线与两交点坐标，对直线斜率是否存在进行分类讨论。若斜率不存在，直接代入验证；若斜率存在，联立方程并用韦达定理表示出 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，即为 $P$ 点坐标，最后代入椭圆方程求解斜率 $k$。

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存在满足条件的点 $P$ 与直线 $l$，其对应结果为：$P\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$， $l:\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}=0$ 或 $P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由题意，椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹a^2=3c^2$。 则 $b^2=a^2-c^2=2c^2$。 椭圆的右焦点为 $F(c,0)$，当直线 $l$ 的斜率为 1 时，其方程为 $y=x-c$，即 $x-y-c=0$。 原点 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|-c|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$。 已知 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c=1$。 所以 $a=\sqrt{3}$， $b=\sqrt{2}$。

(2) 解： 由(1)知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，右焦点为 $F(1,0)$。 假设存在点 $P(x_0,y_0)$ 使得 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 成立。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_0=x_1+x_2,y_0=y_1+y_2$。

① 当直线 $l$ 的斜率不存在时， $l$ 的方程为 $x=1$。 代入椭圆方程得 $\frac{1}{3}+\frac{y^2}{2}=1⟹y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$。 此时 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=0$，即 $P(2,0)$。 代入椭圆方程左边： $\frac{2^2}{3}+\frac{0^2}{2}=\frac{4}{3}\ne 1$，故点 $P$ 不在椭圆上，此情况不成立。

② 当直线 $l$ 的斜率存在时，设其斜率为 $k$，则 $l$ 的方程为 $y=k(x-1)$。 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}⟹(3k^2+2)x^2-6k^{2}x+3k^2-6=0$。 由于直线过椭圆内定点 $F$，必有 $\Delta >0$ 恒成立。 由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{6k^2}{3k^2+2}$， 则 $y_1+y_2=k(x_1-1)+k(x_2-1)=k(x_1+x_2-2)=k\left(\frac{6k^2}{3k^2+2}-2\right)=\frac{-4k}{3k^2+2}$。 若 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，则点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{6k^2}{3k^2+2},\frac{-4k}{3k^2+2}\right)$。 因为点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，将其坐标代入椭圆方程得： $\frac{1}{3}{\left(\frac{6k^2}{3k^2+2}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{-4k}{3k^2+2}\right)}^2=1$， 化简得： $\frac{12k^4+8k^2}{(3k^2+2{)}^2}=1⟹12k^4+8k^2=9k^4+12k^2+4$， 整理得： $3k^4-4k^2-4=0⟹(3k^2+2)(k^2-2)=0$。 因为 $3k^2+2>0$，所以 $k^2=2⟹k=\pm \sqrt{2}$。

当 $k=\sqrt{2}$ 时， $P$ 点坐标为 $\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}=0$； 当 $k=-\sqrt{2}$ 时， $P$ 点坐标为 $\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}=0$。 综上所述，存在满足条件的点 $P$ 与直线 $l$，其对应结果为： $P\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$， $l:\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}=0$ 或 $P\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$， $l:\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆的位置关系中韦达定理的代数化简、向量共线与加法的坐标化。

2. 核心方法：设而不求法（代入韦达定理）、分类讨论思想（针对直线斜率是否存在）。

3. 避坑指南：第(2)问探讨直线方程时，必须首先单独讨论斜率不存在的特例 $x=1$，若直接设 $y=k(x-1)$ 会导致步骤逻辑不严密；在化简 $y_1+y_2$ 时利用整体结构 $k(x_1+x_2-2)$ 可大幅减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何中传统的“存在性探索问题”，将向量平行四边形法则（中点性质的变形）引入圆锥曲线，考查学生的综合代数变形与推导能力。

2. 结论推广：在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，若过焦点的弦 $AB$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 且 $P$ 在椭圆上，则点 $P$ 的横坐标及直线的斜率只与椭圆的长短轴参数相关，形成一类齐次比例方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比