2010-天津卷文-06 单-指对数比较大小

本题导读

考查指对数比大小。$0<b=({\log }_{5}3{)}^2<{\log }_{5}3<{\log }_{5}4=a<1$，$c={\log }_{4}5>1$，故 $b<a<c$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设 $a={\log }_{5}4$，$b=({\log }_{5}3{)}^2$，$c={\log }_{4}5$，则()

A. $a<c<b$　　　　　B. $b<c<a$　　　　　C. $a<b<c$　　　　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $0<{\log }_{5}3<{\log }_{5}4<1$，故 $0<a<1$。
2. $b=({\log }_{5}3{)}^2<{\log }_{5}3<{\log }_{5}4=a$（真数小于 $1$ 的正数平方后更小）。
3. $c={\log }_{4}5>{\log }_{4}4=1$。
4. 所以 $b<a<c$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y={\log }_{5}x$ 单调递增，且 $1<3<4<5$， 所以 $0<{\log }_{5}3<{\log }_{5}4<1$，即 $0<a<1$。 又 $0<{\log }_{5}3<1$，故 $b=({\log }_{5}3{)}^2<{\log }_{5}3<{\log }_{5}4=a.$ 而 $c={\log }_{4}5>{\log }_{4}4=1$。 综上 $b<a<c$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数式比较大小

核心方法：先与 $0,1$ 定档，再同档内利用单调性细分

避坑指南：$b=({\log }_{5}3{)}^2$ 不是 ${\log }_{5}9$；$0<t<1$ 时 $t^2<t$，这是 $b<{\log }_{5}3$ 的依据，方向不能反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比大小三板斧：定档（与 $0,1$ 比）、作差作商、单调性。

结论推广：${\log }_{4}5$ 与 ${\log }_{5}4$ 互为倒数，一个大于 $1$ 另一个必小于 $1$。

方法推广：换底公式可把不同底的对数化到同一基准比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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