2015-新课标II卷文-07 单-外接圆

本题导读

求外心到原点的距离。外心到三个顶点距离相等，设坐标列两个方程就能定出圆心，最后算它到原点的距离。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知三点 $A(1,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，$C(2,\sqrt{3})$，则 $△ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为 ()

A. $\frac{5}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{5}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $P(x,y)$，由 $|PA{|}^2=|PB{|}^2$ 得一个方程。
2. 由 $|PB{|}^2=|PC{|}^2$ 得另一个方程（本题还可用 $B,C$ 纵坐标相同直接得 $x=1$）。
3. 解出圆心坐标后，用两点间距离公式求 $|OP|$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设外接圆圆心为 $P(x,y)$，则 $|PA|=|PB|=|PC|$.

由 $|PB{|}^2=|PC{|}^2$：因为 $B(0,\sqrt{3})$ 与 $C(2,\sqrt{3})$ 纵坐标相同，$P$ 在 $BC$ 的垂直平分线上，故

$x=1.$

由 $|PA{|}^2=|PB{|}^2$：

$(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2.$

代入 $x=1$ 得 $y^2=1+y^2-2\sqrt{3}y+3$，即 $2\sqrt{3}y=4$，解得

$y=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

故圆心为 $P\left(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$，它到原点的距离

$|OP|=\sqrt{1^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}.$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形外接圆圆心的求法；两点间距离公式。

2. 核心方法：“外心到三顶点等距”是唯一依据；看见两个顶点纵坐标（或横坐标）相同，立刻用垂直平分线求出一个坐标，能少解一个方程。

3. 避坑指南：① 用平方形式列方程可以避免根号；② 别把”外心”与”重心、垂心、内心”混淆，只有外心到三顶点等距；③ 最后算的是圆心到原点的距离，不是圆的半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：求外接圆圆心（三角形外心）在新课标Ⅱ卷中常以小题出现，2015 年理科卷同位置（第 7 题）也考直线与圆。

2. 结论推广: 一般地，外心坐标可由两条垂直平分线联立得到；若三角形有一边平行于坐标轴，则一条垂直平分线可直接读出，这是本题简化运算的关键。

3. 方法推广: 解析几何中”求点坐标”的通用流程：设未知点 → 用题目给的等量关系列方程 → 解出坐标 → 再代入所求量。设坐标永远比设参数（半径、斜率）更直接。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-7
• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义