2009-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题，利用数形结合的思想确定可行域的顶点，从而求出线性目标函数的最小值。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 3\\ x-y\ge -1\\ 2x-y\le 3\end{array}$，则目标函数 $z=2x+3y$ 的最小值为 ()

A. 6　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 23

🔍【思路分析】

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1. 作出约束条件对应的平面可行域，求解边界直线的交点以确定可行域的三个顶点。

2. 将目标函数转化为斜截式，分析截距的几何意义，通过代入顶点坐标进行大小比较求得最值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件作图可得可行域为三角形封闭区域，其三个顶点坐标通过联立方程组解得为： $A(1,2)$，$B(2,1)$，$C(4,5)$。 将三个顶点坐标分别代入目标函数 $z=2x+3y$ 中计算： 当处于点 $A(1,2)$ 时，$z=2\times 1+3\times 2=8$； 当处于点 $B(2,1)$ 时，$z=2\times 2+3\times 1=7$； 当处于点 $C(4,5)$ 时，$z=2\times 4+3\times 5=23$。 比较可知，目标函数 $z$ 的最小值为 7。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中平面区域的确定与目标函数的几何意义。

2. 核心方法：图解法与边界交点代入法。

3. 避坑指南：画可行域时需准确判断不等式对应的半平面区域，防止找错可行域；联立方程求解顶点时需保证计算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中线性规划的典型常规例题，重在考查数形结合的基本数学思想。

2. 结论推广: 若目标函数为 $z=ax+by$ ($b>0$)，平移直线 $y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，当截距取得极值时，对应的可行域凸顶点即为最值点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立