2009-天津卷理-09 单-抛物线

本题导读

本题考查解析几何中抛物线的几何性质及直线与抛物线的综合应用，关键在于将三角形的面积之比转化为对应线段长度之比，再利用坐标投影简化计算。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 设抛物线 $y^2=2x$ 的焦点为 $F$，过点 $M(\sqrt{3},0)$ 的直线与抛物线相交于 $A,B$ 两点，与抛物线的准线相交于 $C$， $|BF|=2$，则 $\Delta BCF$ 与 $\Delta ACF$ 的面积之比 $\frac{S_{\Delta BCF}}{S_{\Delta ACF}}=$ ()

A. $\frac{4}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{4}{7}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线方程得出焦点 $F(\frac{1}{2},0)$ 和准线方程 $x=-\frac{1}{2}$。利用抛物线定义，由 $|BF|=2$ 求得点 $B$ 的横坐标 $x_B=\frac{3}{2}$，进而得到点 $B$ 的坐标。

2. $\Delta BCF$ 与 $\Delta ACF$ 拥有公共顶顶点 $F$，且底边 $BC$ 与 $AC$ 在同一条直线上，故其面积之比等于线段长度之比 $\frac{|BC|}{|AC|}$。

3. 利用平行投影原理，将线段长度之比转化为 $A,B,C$ 三点横坐标的差值之比 $\frac{|x_B-x_C|}{|x_A-x_C|}$。由已知可得 $x_C=-\frac{1}{2}$，只需通过联立直线与抛物线方程求出 $x_A$ 即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y^2=2x$ 得 $p=1$，则焦点 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$，准线方程为 $x=-\frac{1}{2}$，所以 $x_C=-\frac{1}{2}$。 根据抛物线的定义，有 $|BF|=x_B+\frac{p}{2}=x_B+\frac{1}{2}=2⟹x_B=\frac{3}{2}$。 代入 $y^2=2x$ 得 $y_B^2=3$。不失一般性，取 $B\left(\frac{3}{2},\sqrt{3}\right)$。 因为直线过点 $M(\sqrt{3},0)$ 和 $B\left(\frac{3}{2},\sqrt{3}\right)$，设直线方程为 $x=my+\sqrt{3}$。 将点 $B$ 坐标代入得：$\frac{3}{2}=m\sqrt{3}+\sqrt{3}⟹m=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$。 联立直线方程 $x=my+\sqrt{3}$ 与抛物线方程 $y^2=2x$ 得： $y^2-2my-2\sqrt{3}=0$ 由根与系数的关系得 $y_A\cdot y_B=-2\sqrt{3}$。将 $y_B=\sqrt{3}$ 代入得 $y_A=-2$。 代入抛物线方程得 $x_A=\frac{(-2{)}^2}{2}=2$。 由于 $\Delta BCF$ 与 $\Delta ACF$ 共享顶点 $F$，且 $A,B,C$ 三点共线， 所以 $\frac{S_{\Delta BCF}}{S_{\Delta ACF}}=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|x_B-x_C|}{|x_A-x_C|}=\frac{\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式的应用、共线三点间距离比向坐标轴投影的转化。

2. 核心方法：数形结合法，通过“同高三角形面积比等于底边比”将面积问题降维为线段长度比。

3. 避坑指南：计算直线斜率或设置直线方程时，若设 $y=kx+b$ 需注意斜率不存在的情况，本题设 $x=my+b$ 可有效规避此类讨论，计算过程更简洁。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是圆锥曲线经典位置关系习题的几何拓展，考查坐标法与几何性质的交汇。

2. 结论推广: 直线与圆锥曲线交于 $A,B$ 两点，与对应准线交于 $C$，对于该直线上任意一点 $P$，$\Delta BCP$ 与 $\Delta ACP$ 的面积比恒为 $\frac{|x_B-x_C|}{|x_A-x_C|}$，与点 $P$ 的选取无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-04 单-抛物线焦点正三角形
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集