2009-天津卷理-10 单-不等式

本题导读

本题是一道构思精巧的二次不等式压轴小题，考查含参不等式整数解的个数问题，需要深入分析二次项系数的符号对解集形态的影响，从而精准划定参数范围。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） $0<b<1+a$.若关于 $x$ 的不等式 $(x-b{)}^2>(ax{)}^2$ 的解集中的整数恰有 3 个，则 ()

A. $-1<a<0$　　B. $0<a<1$　　C. $1<a<3$　　D. $3<a<6$

🔍【思路分析】

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1. 变形原不等式为 $[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0$。分析若二次项系数 $(1-a)(1+a)>0$，则解集为两边无限区间，其内整数解必有无数个，与“恰有 3 个”矛盾，由此锁定了二次项系数必小于 0，即 $a^2>1$。

2. 当 $a>1$ 时，不等式解集为有限开区间 $\left(\frac{-b}{a-1},\frac{b}{a+1}\right)$。

3. 利用已知条件 $0<b<1+a$ 判断出右边界 $\frac{b}{a+1}\in (0,1)$。这意味着区间内的整数解只能是负整数和 0。

4. 明确 3 个整数解必须为 $0,-1,-2$，从而对左边界列出不等式组 $-3\le \frac{-b}{a-1}<-2$，结合已知条件推导出 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

原不等式化简为： $(x-b{)}^2-(ax{)}^2>0⟹(x-b-ax)(x-b+ax)>0⟹[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0$ 若 $(1-a)(1+a)>0$，即 $-1<a<1$ 时，二次项系数为正，不等式解集为两侧无穷区间，其中的整数解有无数个，不符题意，排除 A、B。 因此必有 $(1-a)(1+a)<0⟹a^2>1$。结合 C、D 选项知 $a>1$。 当 $a>1$ 时，$1-a<0$ 且 $1+a>0$，不等式等价于： $\left(x-\frac{-b}{a-1}\right)\left(x-\frac{b}{a+1}\right)<0$ 解集为开区间 $\left(\frac{-b}{a-1},\frac{b}{a+1}\right)$。 因为 $0<b<1+a$，所以 $0<\frac{b}{a+1}<1$。 因此，该区间内包含的正整数个数为 0，最大整数解为 0。 由于解集内恰有 3 个整数，这三个整数必为 $-2,-1,0$。 故左边界值 $\frac{-b}{a-1}$ 必须满足： $-3\le \frac{-b}{a-1}<-2⟹2<\frac{b}{a-1}\le 3$ 根据已知 $b<a+1$，有 $\frac{b}{a-1}<\frac{a+1}{a-1}$。 要使区间内能凑齐 3 个整数，必须满足 $\frac{a+1}{a-1}>2⟹a+1>2a-2⟹a<3$。 结合 $a>1$ 可得实数 $a$ 的取值范围是 $1<a<3$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参一元二次不等式的分类讨论、不等式整数解的临界值确定。

2. 核心方法：数形结合确定根的分布边界。

3. 避坑指南：容易忽视对解集形态（两边无限还是中间有限）的定性分析；在锁定整数解为 $-2,-1,0$ 后，列左端点边界范围时容易漏掉或搞错等号的归属（左端点可等于 $-3$ 但不能等于 $-2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自一元二次方程根的分布与存在性定理，进一步与离散的整数问题做交汇考查。

2. 结论推广: 设开区间 $(x_1,x_2)$ 包含 $n$ 个连续整数且右端点 $x_2\in (0,1)$，则这 $n$ 个整数必定为 $-(n-1),\dots ,-1,0$，且左端点必满足 $-n\le x_1<-(n-1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式