2009-安徽卷文-20 解-空间向量与体积

本题导读

考查线面垂直与体积。$E{E}^{\prime }=\sqrt{2}$，$V_{E\text{-}ABCD}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$V_{E\text{-}BCF}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，合计 $2\sqrt{2}$（合集解析的三棱柱法数值 $2\sqrt{3}$ 有误，此为第 5 处裁定）。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 如图，$ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，直线 $l$ 与平面 $ABCD$ 平行，$E$ 和 $F$ 是 $l$ 上的两个不同点，且 $EA=ED$，$FB=FC$.$E^{\prime }$ 和 $F^{\prime }$ 是平面 $ABCD$ 内的两点，$E{E}^{\prime }$ 和 $F{F}^{\prime }$ 都与平面 $ABCD$ 垂直.

(1) 证明：直线 $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 垂直且平分线段 $AD$；

(2) 若 $\angle EAD=\angle EAB=60^{\circ }$，$EF=2$，求多面体 $ABCDEF$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. (1) $E{E}^{\prime }\perp$ 平面得 $E^{\prime }A=E^{\prime }D$，$E^{\prime }$ 在 $AD$ 垂直平分线上；同理 $F^{\prime }$ 也在线段 $AD$ 的垂直平分线上，故 $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 垂直且平分 $AD$。
2. (2) 建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$E=(u,1,h)$。
3. $\cos \angle EAD=\frac{1}{AE}=\frac{1}{2}$ 得 $AE=2$；$\cos \angle EAB=\frac{u}{2}=\frac{1}{2}$ 得 $u=1$，$h=\sqrt{2}$。
4. 分割：正四棱锥 $E$-$ABCD$（高 $\sqrt{2}$）$+$ 正四面体 $E$-$BCF$（棱长 $2$）：$V=\frac{1}{3}\times 4\times \sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{12}\times 2^3=\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $EA=ED$ 且 $E{E}^{\prime }\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $E^{\prime }A=E^{\prime }D$，点 $E^{\prime }$ 在线段 $AD$ 的垂直平分线上。 同理，点 $F^{\prime }$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上。又 $ABCD$ 是正方形，线段 $BC$ 的垂直平分线就是线段 $AD$ 的垂直平分线， 即点 $E^{\prime }$、$F^{\prime }$ 都在线段 $AD$ 的垂直平分线上，所以直线 $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 垂直且平分线段 $AD$。 (2) 以 $A$ 为原点建系：$A=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$D=(0,2,0)$，$C=(2,2,0)$，设 $E^{\prime }=(u,1,0)$（由 (1) $E^{\prime }$ 在直线 $y=1$ 上），$E=(u,1,h)$。 由 $\cos \angle EAD=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AD}}{AE\cdot AD}=\frac{1}{AE}=\frac{1}{2}$，得 $AE=2$； 由 $\cos \angle EAB=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}}{AE\cdot AB}=\frac{u}{2}=\frac{1}{2}$，得 $u=1$，代入 $A{E}^2=u^2+1+h^2=4$ 得 $h=\sqrt{2}$。 连接 $EB$，$EC$。由 $E^{\prime }{B}^2=(2-1{)}^2+1=2$ 得 $EB=\sqrt{2+2}=2$，同理 $EC=FB=FC=2$。 于是 $EB=EC=FB=FC=BC=EF=2$，多面体 $ABCDEF$ 可分割为正四棱锥 $E$-$ABCD$ 与正四面体 $E$-$BCF$ 两部分。 $V_{E\text{-}ABCD}=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times E{E}^{\prime }=\frac{1}{3}\times 4\times \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$； $V_{E\text{-}BCF}=\frac{\sqrt{2}}{12}\times 2^3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$（棱长为 $2$ 的正四面体体积，亦可由 $V_{C\text{-}BEA}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sqrt{2}$ 换底求得）。 所以多面体 $ABCDEF$ 的体积为 $\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$。 （裁定注：合集解析把多面体当作以 $△ADE$ 为底、以 $EF$ 为棱的三棱柱，且用 $V=S_{△ADE}\cdot EF$ 求得 $2\sqrt{3}$；但 $EF\parallel AB$ 并不垂直于平面 $ADE$，该公式误用。按分割法独立复算与三方网络旁证均为 $2\sqrt{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质与多面体体积

核心方法：投影等距定垂直平分线；分割法求体积

避坑指南：$E{E}^{\prime }\perp$ 平面把”空间等距”转为”投影等距”；体积用分割：正四棱锥 $E$-$ABCD$（$\frac{1}{3}\times 4\times \sqrt{2}$）$+$ 正四面体 $E$-$BCF$（棱长 $2$，$\frac{\sqrt{2}}{12}\times 8$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直是”平面内投影保持等距”的桥梁。

结论推广：不规则多面体优先考虑分割或补形。

方法推广：正四面体体积公式 $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$ 可当结论记，也可换底为 $\frac{1}{3}Sh$ 求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直
• 2009-浙江卷文-19 解-线面平行与线面角