2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直

本题导读

本题考查三棱锥的体积。核心在于三角法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=AD=1$，$A{A}_1=2$，$M$ 为棱 $D{D}_1$ 上的一点.

(1)求三棱锥 $A-MC{C}_1$ 的体积；

(2)当 $A_{1}M+MC$ 取得最小值时，求证：$B_{1}M\perp$ 平面 $MAC$.

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🔍【思路分析】

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（1）$V=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$；（2）$A_{1}M+MC⩾2\sqrt{2}$，取等时 $M$ 为 $D{D}_1$ 中点，向量验证 $\overrightarrow{B_{1}M}$ 与 $\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MC}$ 数量积均为 $0$。

✅【答案】

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(1)$V=\frac{1}{3}$；(2)证明见解析（此时 $M$ 为 $D{D}_1$ 的中点）

✍【详细解析】

Abstract

（1）以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$C(1,1,0)$，$C_1(1,1,2)$，设 $M(0,1,t)$（$0⩽t⩽2$）。

$M$，$C$，$C_1$ 都在平面 $y=1$ 内，$△MC{C}_1$ 中边 $C{C}_1=2$，点 $M$ 到直线 $C{C}_1$ 的距离为 $AB=1$，故 $S_{△MC{C}_1}=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$。

点 $A$ 到平面 $MC{C}_1$（即平面 $y=1$）的距离为 $AD=1$，故 $V_{A-MC{C}_1}=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

（2）$A_{1}M=\sqrt{1+(2-t{)}^2}$，$MC=\sqrt{1+t^2}$。由平面向量的三角不等式（或展开两边），

$A_{1}M+MC=\sqrt{1+(2-t{)}^2}+\sqrt{1+t^2}⩾\sqrt{(1+1{)}^2+{\left[(2-t)+t\right]}^2}=2\sqrt{2}$，

当且仅当 $(1,2-t)$ 与 $(1,t)$ 同向，即 $t=1$ 时取等号，此时 $M(0,1,1)$ 为 $D{D}_1$ 的中点。

于是 $\overrightarrow{B_{1}M}=(-1,1,-1)$，$\overrightarrow{MA}=(0,-1,-1)$，$\overrightarrow{MC}=(1,0,-1)$。

$\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{MA}=0+(-1)+1=0$，$\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{MC}=-1+0+1=0$，且 $\overrightarrow{MA}$ 与 $\overrightarrow{MC}$ 不共线（相交于 $M$）。

故 $B_{1}M\perp$ 平面 $MAC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥体积；向量三角不等式求折线和最值；线面垂直的判定

核心方法：点、线、面都在特殊平面内时直接算底与高；$A_{1}M+MC$ 用三角不等式合并两个根式；垂直用数量积为零验证

避坑指南：$A_1$、$M$、$C$ 不共线，$A_{1}M+MC$ 的最小值不能用”两点连线段”；三角不等式取等条件是两个向量同向，由此解出 $t=1$；证垂直需先说明 $MA$ 与 $MC$ 相交不共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体中的体积与垂直综合题，与 2014 年北京卷文第 17 题、2013 年新课标Ⅰ文第 19 题同族。

结论推广：对非负实数：$\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(c-x{)}^2}⩾\sqrt{(a+b{)}^2+c^2}$（向量三角不等式的坐标形式）。

方法推广：立体几何最值（折线和、空间距离和）常用两条路：侧面展开图，或坐标化后用三角不等式；取等点就是最值位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-17 解-线面垂直与体积
• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积
• 2013-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角