2009-安徽卷理-06 单-函数

本题导读

本题考查三次函数的图象与性质、函数的零点特征（重根与切点）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 设 $a<b$，函数 $y=(x-a{)}^2(x-b)$ 的图象可能是 ()

🔍【思路分析】

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1. 观察多项式的最高次幂项，展开后最高次项为 $x^3$，其系数为 $+1>0$，从而确定当 $x\to +\infty$ 时， $y\to +\infty$。由此排除不符合无穷远趋势的选项。
2. 分析函数的零点形态：由 $(x-a{)}^2$ 可知 $x=a$ 是二重根，图象在 $x=a$ 处与 $x$ 轴相切；由 $(x-b)$ 可知 $x=b$ 是单根，图象在 $x=b$ 处穿过 $x$ 轴。
3. 结合已知条件 $a<b$（即切点在交点的左侧），比对选出正确图象。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先，分析函数的极限趋势： 当 $x\to +\infty$ 时， $y=(x-a{)}^2(x-b)\to +\infty$； 当 $x\to -\infty$ 时， $y=(x-a{)}^2(x-b)\to -\infty$。 这表明图象的右侧应当向上延伸，左侧向下延伸。由此可以排除选项 A 和 B（它们的领先系数为负值）。

接下来，分析函数与 $x$ 轴的交点（零点）几何特征： 令 $y=0$，解得方程的根为 $x=a$（二重根）或 $x=b$（单根）。

• 在 $x=a$ 处，由于因式为平方项 $(x-a{)}^2$，所以该点为切点，即图象与 $x$ 轴相切（在此处达到极值点）；
• 在 $x=b$ 处，因式为一次项 $(x-b)$，所以该点为交点，即图象直接穿过 $x$ 轴。

因为已知 $a<b$，说明切点 $a$ 必须位于交点 $b$ 的左侧。

• 观察图 C：图象在左侧根 $a$ 处与 $x$ 轴相切，在右侧根 $b$ 处穿过 $x$ 轴，符合题意；
• 观察图 D：图象在左侧根 $a$ 处穿过 $x$ 轴，在右侧根 $b$ 处与 $x$ 轴相切，不符合题意。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式函数零点的几何意义（奇过偶切：奇数次因式如图象穿过 $x$ 轴，偶数次因式如图象与 $x$ 轴相切）。
2. 核心方法：零点特征排查法。
3. 避坑指南：不需要盲目去求导算出极值点精确坐标，利用高次多项式因式分解后的“因式幂次规律”即可极其迅速地判定切交形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中导数与三次函数性质、代数方程根的几何意义综合探究章节。
2. 结论推广：对任意多项式函数 $f(x)=\prod (x-x_i{)}^{k_i}$：

• 若 $k_i$ 为奇数，图象在 $x=x_i$ 处穿过 $x$ 轴；
• 若 $k_i$ 为偶数，图象在 $x=x_i$ 处与 $x$ 轴相切且不穿过。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性