2009-山东卷理-10 单-函数

本题导读

本题考查利用递推公式求解函数在较大自变量处的值。解决这类问题的通用策略是利用递推关系求出函数值呈现的周期性规律，从而实现化大为小的目的。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_2(1-x),& x\le 0\\ f(x-1)-f(x-2),& x>0\end{array}$，则 $f(2009)$ 的值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 求初始值：利用自变量 $x\le 0$ 时的对数解析式，算出 $f(0)$ 和 $f(-1)$。

2. 归纳周期：对于 $x>0$，函数满足递推式 $f(x)=f(x-1)-f(x-2)$。依次计算 $f(1),f(2),f(3),\dots$，观察是否出现循环（即周期性）。

3. 大数转化：求得周期 $T$ 后，将目标自变量 $2009$ 除以周期 $T$ 求余数，将其等价转化为周期内的小数值进行求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算边界初始值： 当 $x\le 0$ 时，有 $f(x)={\log }_2(1-x)$。 可得： $f(0)={\log }_2(1-0)=0$ $f(-1)={\log }_2[1-(-1)]={\log }_{2}2=1$

2. 依次递推正数区间的值： 当 $x>0$ 时，满足递推式 $f(x)=f(x-1)-f(x-2)$。 令 $x$ 依次取正整数进行计算：

• $f(1)=f(0)-f(-1)=0-1=-1$
• $f(2)=f(1)-f(0)=-1-0=-1$
• $f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0$
• $f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1$
• $f(5)=f(4)-f(3)=1-0=1$
• $f(6)=f(5)-f(4)=1-1=0$
• $f(7)=f(6)-f(5)=0-1=-1$
• $f(8)=f(7)-f(6)=-1-0=-1$

3. 确定周期并求解： 观察上述数列： $-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,\dots$ 可见，自变量为正整数时，$f(n)$ 的取值呈现出以 $6$ 为周期的重复规律（即 $f(n+6)=f(n)$）。 将目标自变量 $2009$ 对 $6$ 求余数： $2009=6\times 334+5$ 因此，有： $f(2009)=f(5)=1$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数求值、函数数列化的周期性推导。
2. 核心方法：周期探索法。在高考中，遇到较大的自变量求值，95% 以上需要通过前几项的计算归纳出周期律。
3. 避坑指南：

• 递推求值时每一步必须极其精确，因为后面项的结果完全依赖于前面项。一旦某一步（如负号相减）出现失误，后续的周期归纳将彻底失败。

• 周期变换后，余数对应的项不要数错。例如余数为 $5$，对应的是 $f(5)$ 的值，而不是第 5 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题利用递推式 $f(x)=f(x-1)-f(x-2)$。 若我们将该递推关系代数化变形： $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$ $f(x+2)=f(x+1)-f(x)=[f(x)-f(x-1)]-f(x)=-f(x-1)$ 由于 $f(x+2)=-f(x-1)$，则 $f(x+5)=-f(x+2)=f(x-1)$。 由此可严格证明其具有周期 $T=6$。
2. 结论推广：常见周期性递推式规律：

• 若 $f(x)=f(x-1)-f(x-2)$，则其周期 $T=6$。

• 若 $f(x+1)=-f(x)$，则其周期 $T=2$。

• 若 $f(x+1)=\frac{1}{f(x)}$，则其周期 $T=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性