2009-山东卷理-11 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型中的长度型概率计算，同时结合了三角函数不等式的求解。解题的关键是首先解出使余弦值满足特定范围的自变量 $x$ 的区间，再利用区间长度之比计算出概率。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 在区间 $[-1,1]$ 上随机取一个数 $x$，$\cos \frac{\pi x}{2}$ 的值介于 $0$ 到 $\frac{1}{2}$ 之间的概率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{\pi }$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 解三角不等式：设 $\theta =\frac{\pi x}{2}$，由 $x\in [-1,1]$ 确定 $\theta$ 的取值范围，在此范围内解出满足 $0\le \cos \theta \le \frac{1}{2}$ 的 $\theta$ 的范围。

2. 确定 $x$ 的范围：将 $\theta$ 还原为 $x$，得到符合条件的 $x$ 的区间。

3. 几何概型计算：计算符合条件的区间长度之和，并除以总区间 $[-1,1]$ 的长度。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定角的范围： 因为 $x\in [-1,1]$，所以 $\theta =\frac{\pi x}{2}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。

2. 解三角不等式： 在 $\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，$\cos \theta \ge 0$ 恒成立。 要使 $0\le \cos \theta \le \frac{1}{2}$，只需满足 $\cos \theta \le \frac{1}{2}$。 在上述范围内，解得： $\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$

3. 还原自变量 $x$： 代入 $\theta =\frac{\pi x}{2}$：

• 当 $-\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi x}{2}\le -\frac{\pi }{3}$ 时，解得 $-1\le x\le -\frac{2}{3}$；
• 当 $\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi x}{2}\le \frac{\pi }{2}$ 时，解得 $\frac{2}{3}\le x\le 1$。 所以，符合条件的 $x$ 的区间为 $\left[-1,-\frac{2}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},1\right]$。

4. 计算概率： 符合条件的区间长度之和为： $\mu (A)=\left[-\frac{2}{3}-(-1)\right]+\left[1-\frac{2}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ 总区间 $[-1,1]$ 的长度为 $\mu (\Omega )=1-(-1)=2$。 根据几何概型的概率计算公式： $P=\frac{\mu (A)}{\mu (\Omega )}=\frac{\frac{2}{3}}{2}=\frac{1}{3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长度型几何概型的概率计算公式 $P=\frac{\text{构成事件的区域长度}}{\text{全部结果构成的区域长度}}$。
2. 核心方法：通过解三角不等式确定目标测度的区间范围。
3. 避坑指南：

• 求解余弦不等式时，注意其对称性，不要漏掉负值部分的区间 $\left[-1,-\frac{2}{3}\right]$。

• 在最后计算几何概型时，一定要除以总区间的长度（总区间为 $[-1,1]$，长度为 $2$），部分学生容易将区间长度误记为 $1$，从而导致错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查几何概型的定义，这类题型的设计本质是利用测度（长度、面积、体积）来实现连续型随机变量的概率求解。

2. 结论推广： 对于在区间 $[-L,L]$ 上均匀分布的随机变量 $x$，要使 $\cos (\omega x)\in [a,b]$，只需利用余弦函数的单调性和对称性求出 $x$ 在 $[-L,L]$ 内对应所有子区间的总长度 $S$，则所求概率 $P=\frac{S}{2L}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式