2009-山东卷理-14 填-导数

本题导读

本题考查含有参数的混合函数零点个数问题。重点在于通过对指数底数的分类讨论，利用导数工具分析函数的单调性、极值与最值，从而确定零点个数满足条件的参数范围。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 若函数 $f(x)=a^x-x-a(a>0\text{ 且 }a\ne 1)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 底数分类讨论：因为底数 $a$ 的范围决定了指数函数 $a^x$ 的单调性，因此必须分 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情况进行讨论。
2. 单调性与极值分析：

• 求导数 $f^{\prime }(x)=a^x\ln a-1$。

• 分析在不同 $a$ 的取值范围下 $f(x)$ 的单调区间 and 最值，判断其与 $x$ 轴的交点个数。

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实数 $a$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$（或 $\{a\mid a>1\}$）

✍【详细解析】

Abstract

已知函数 $f(x)=a^x-x-a$ 的零点即为方程 $f(x)=0$ 的根。

1. 当 $0<a<1$ 时： 因为 $\ln a<0$，且对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $a^x>0$， 所以 $f^{\prime }(x)=a^x\ln a-1<-1<0$ 恒成立。 这说明 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。 因为单调函数在整个定义域内最多只有一个零点，所以 $0<a<1$ 时不可能有两个零点，不符题意。

2. 当 $a>1$ 时： 令 $f^{\prime }(x)=a^x\ln a-1=0⟹a^x=\frac{1}{\ln a}$。 设此极值点为 $x_0={\log }_a\left(\frac{1}{\ln a}\right)$。

• 当 $x<x_0$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x>x_0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 所以，当 $x=x_0$ 时，函数 $f(x)$ 取得极小值（亦为最小值） $f(x_0)$。 因为 $a>1$，考虑特殊值： $f(0)=a^0-0-a=1-a$ 由于 $a>1$，故 $f(0)=1-a<0$。 既然函数在 $x=0$ 处的值小于零，那么其最小值 $f(x_0)\le f(0)<0$。 又因为：
• 当 $x\to -\infty$ 时，$a^x\to 0$，则 $f(x)=a^x-x-a\to +\infty$；
• 当 $x\to +\infty$ 时，指数函数增长速度远大于一次函数，则 $f(x)\to +\infty$。 结合单调性： 在 $(-\infty ,x_0)$ 内，函数从 $+\infty$ 递减到极小值（小于 $0$），必定存在一个零点； 在 $(x_0,+\infty )$ 内，函数从极小值（小于 $0$）递增到 $+\infty$，也必定存在一个零点。 因此，当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 恒有两个零点。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$（或 $\{a\mid a>1\}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的图象特征、导数判定单调性、极值点在零点判定中的决定性作用。

2. 核心方法：分类讨论法（针对底数 $a$ 是否大于 $1$ 展开讨论）与极值特征法。

3. 避坑指南：有些同学容易直接套用二次函数 $\Delta >0$ 的思想，但指数混合函数无法直接套用判别式，必须通过求导结合单调性判断其极值。同时，对于指数型基底，首要步骤必须是分类讨论底数大于 1 与在 0 到 1 之间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查超越函数的零点问题。零点的个数往往对应两个简单图象的交点。方程 $a^x-x-a=0$ 变形为 $a^x=x+a$，即指数曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x+a$ 的交点。
2. 结论推广： 对于曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x+c$ 的交点个数问题：

• 当 $0<a<1$ 时，由于一个是减函数一个是增函数，两图象必有且仅有一个交点；

• 当 $a>1$ 时，直线 $y=x+c$ 只有在 $c$ 大于某个临界值时才会与 $y=a^x$ 有两个交点。本题中 $c=a$，因 $a>1$，天然满足有两个交点的条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值