2009-山东卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题是一道经典的三角函数与解三角形综合大题。第一问通过应用两角和的余弦公式与正弦降幂公式对函数进行化简，进而直接求得其最小正周期与最大值；第二问则通过特殊函数值确定三角形的内角，并结合同角三角函数关系与两角和的正弦公式完成解三角形的求值计算。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+{\sin }^{2}x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最大值和最小正周期；

(2) 设 $A,B,C$ 为 $△ABC$ 的三个内角，若 $\cos B=\frac{1}{3}$，$f\left(\frac{C}{2}\right)=-\frac{1}{4}$，且 $C$ 为锐角，求 $\sin A$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：先使用两角和的余弦公式将 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 展开，再利用降幂公式将 ${\sin }^{2}x$ 转化为含 $\cos 2x$ 的形式。合并同类项后将其化为单一三角函数形式，进而直接求出周期与最值。

2. 第二问逻辑：将 $x=\frac{C}{2}$ 代入第一问化简后的解析式中，利用已知条件求出 $\sin C$ 的值，再结合 $C$ 是锐角锁定角 $C$。利用同角三角函数平方关系由 $\cos B$ 求得 $\sin B$，最后利用 $A=\pi -(B+C)$ 配合两角和的正弦公式求出 $\sin A$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）函数𝑓(𝑥)的最大值为1+√32，最小正周期为π.

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 对函数解析式进行恒等变形： $f(x)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}+\frac{1-\cos 2x}{2}$ $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ 所以，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 当 $\sin 2x=-1$ 时，$f(x)$ 取得最大值，最大值为 $f(x{)}_{\text{max}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times (-1)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。

(2) 由 (1) 可知 $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。 因为 $f\left(\frac{C}{2}\right)=-\frac{1}{4}$，代入得： $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C=-\frac{1}{4}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C=\frac{3}{4}⟹\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 又因为 $C$ 为锐角，即 $0<C<\frac{\pi }{2}$， 所以 $C=\frac{\pi }{3}$，从而 $\cos C=\frac{1}{2}$。 在 $△ABC$ 中，已知 $\cos B=\frac{1}{3}$，且 $0<B<\pi$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 由三角形内角和定理得 $A=\pi -(B+C)$， 因此： $\sin A=\sin \left[\pi -(B+C)\right]=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$ 将各已知值代入上式中，得： $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式与降幂公式的混合应用、三角函数的图象与性质、利用两角和公式进行解三角形转化。
2. 核心方法：化异为同。通过降幂把二次式化为一次式，把不同名、不同角的三角函数统一为同角同名函数以进行后续分析。
3. 避坑指南：

• 降幂公式符号混淆：容易误记成 ${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，需谨记正弦降幂中间为减号，余弦降幂中间为加号。

• 忽视角范围的多解情况：由 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求解角时，若忽略“$C$ 为锐角”这一关键条件，极易误写出 $C=\frac{2\pi }{3}$ 的错误解导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于新高考数学卷中对三角函数与解三角形通性通法的考查，属于中档基础解答题。其结构稳固，前半部分侧重于代数性质的推导，后半部分紧密结合几何图形的性质。

2. 结论推广：对于任意满足 $f(x)=\cos (2x+\phi )+{\sin }^{2}x$ 结构的函数，均可通过统一自变量转化为 $f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x+\phi -\frac{\pi }{2}\right)$。在解三角形中，利用 $A+B+C=\pi$ 进行诱导变换是处理“已知两角求第三角”的万能手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数