2009-山东卷理-19 解-分布列

本题导读

本题是一道以篮球投篮训练为背景的概率与统计应用题。考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，以及如何利用独立性、互斥性及二项分布模型进行实际决策。解题关键在于准确理解“停止投篮”的触发条件，并将其正确转化为各个独立路径的概率乘积。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次.某同学在 A 处的命中率 $q_1$ 为 0.25，在 B 处的命中率为 $q_2$.该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 $\xi$ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

$$\begin{array}{cccccc}\xi & 0& 2& 3& 4& 5\\ p& 0.03& p_1& p_2& p_3& p_4\end{array}$$

(1) 求 $q_2$ 的值；

(2) 求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$；

(3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：总得分 $\xi =0$ 的充要条件是：第一投在 A 处未中，第二投在 B 处未中，且第三投在 B 处未中。利用独立事件概率乘积公式可建立关于 $q_2$ 的方程，进而求得 $q_2$。
2. 第二问分析：分别计算出随机变量 $\xi$ 取各个值（2, 3, 4, 5）时的对应概率，得到完整的分布列，然后利用公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$ 计算数学期望。
3. 第三问分析：分别计算两种策略下“得分超过 3 分”的概率。

• 混合策略：直接通过第二问的分布列计算 $P(\xi >3)=P(\xi =4)+P(\xi =5)$；

• 都在 B 处投篮：由于每次投篮相互独立，得分超过 3 分等价于“3次投篮中至少投中2次”，可用二项分布模型快速求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设该同学第一投（A 处）投进为事件 $A$，第二、三投（B 处）投进分别为事件 $B_1,B_2$。 由题意，$\xi =0$ 的唯一路径为第一投未进、第二投未进且第三投未进，即事件 $\bar{A}{\bar{B}}_1{\bar{B}}_2$ 发生。 因为各次投篮相互独立，故： $P(\xi =0)=P(\bar{A})P({\bar{B}}_1)P({\bar{B}}_2)=(1-q_1)(1-q_2{)}^2$ 代入已知条件 $q_1=0.25$，$P(\xi =0)=0.03$，得： $0.75(1-q_2{)}^2=0.03⟹(1-q_2{)}^2=0.04$ 因为 $0\le q_2\le 1$，所以 $1-q_2=0.2$，解得 $q_2=0.8$。

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(2) 计算随机变量 $\xi$ 的各个概率值：

• 当 $\xi =2$ 时，对应的路径有：

• 第一投未中，第二投中，第三投未中，即 $\bar{A}{B}_1{\bar{B}}_2$；

• 第一投未中，第二投未中，第三投中，即 $\bar{A}{\bar{B}}_1{B}_2$。 $p_1=P(\xi =2)=0.75\times 0.8\times 0.2+0.75\times 0.2\times 0.8=0.24$

• 当 $\xi =3$ 时，对应的路径只有：第一投中，第二投未中，第三投未中，即 $A{\bar{B}}_1{\bar{B}}_2$。 $p_2=P(\xi =3)=0.25\times 0.2\times 0.2=0.01$

• 当 $\xi =4$ 时，对应的路径只有：第一投未中，第二、三投均中，即 $\bar{A}{B}_1{B}_2$。 $p_3=P(\xi =4)=0.75\times 0.8\times 0.8=0.48$

• 当 $\xi =5$ 时，对应的路径有：

• 第一投中，第二投中（此时前两次得分 $3+2=5>3$，停止投篮），即 $A{B}_1$；

• 第一投中，第二投未中，第三投中，即 $A{\bar{B}}_1{B}_2$。 $p_4=P(\xi =5)=0.25\times 0.8+0.25\times 0.2\times 0.8=0.24$

所以，随机变量 $\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times 0.03+2\times 0.24+3\times 0.01+4\times 0.48+5\times 0.24=3.63$

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(3) ① 若选择题中的“混合投篮方式”，得分超过 3 分的概率为： $P_1=P(\xi >3)=P(\xi =4)+P(\xi =5)=p_3+p_4=0.48+0.24=0.72$

② 若该同学选择“都在 B 处投篮”： 因为前两次投篮最多得 4 分，且每次中球得 2 分。 要使总得分超过 3 分（即至少得 4 分），其充要条件为：在这 3 次投篮中至少投进 2 球。 设投篮 3 次中，投进的次数为随机变量 $Y$，则 $Y\sim B(3,0.8)$。 故得分超过 3 分的概率为： $P_2=P(Y\ge 2)=C_3^2\times 0.8^2\times 0.2+C_3^3\times 0.8^3=0.384+0.512=0.896$

因为 $0.896>0.72$， 所以该同学选择“都在 B 处投篮”得分超过 3 分的概率大于“选择混合方式投篮”得分超过 3 分的概率。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量期望、互斥与独立事件概率的综合应用。
2. 核心方法：

• 分步路径分析法：通过树状图或列表，穷举所有可能导致特定得分的相互独立路径。
• 等价转化法：在第三问中，将“都在 B 处投篮且得分超过 3 分”的实际物理规则，等价转化为“3 次独立重复试验中成功次数 $Y\ge 2$”的二项分布，极大简化了计算。

3. 避坑指南：

• 警惕停止条件的判定。第一投得 3 分，第二投得 0 分，前两次得分之和为 3 分，不满足“超过 3 分”，因此必须投第三次。部分学生常会在此步骤漏掉第三次投篮的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考中常见的决策规划概率题。它引入了混合策略（在不同位置射击，命中率与得分不同）与动态终止规则（得分超过某阈值即停止），用以考查学生在复杂实际情境下的建模和概率运算水平。

2. 结论推广：此类问题可以推广至动态规划或马尔可夫决策过程（MDP）。在含有阈值终止条件的重复博弈中，为了最大化期望得分或达成目标的概率，决策者需要根据当前各节点的累积得分和剩余投篮机会，计算并调整每一步的最优投篮位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率