2009-广东卷理-04 单-等差数列

本题导读

本题将等比数列与对数运算、等差数列相结合。通过对数运算将等比数列转化为等差数列，考查等差数列的对称性质与求和。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>0$, $n=1,2,\dots$，且 $a_5\cdot a_{2n-5}=2^{2n}$ ($n\ge 3$)，则当 $n\ge 1$ 时，${\log }_2{a}_1+{\log }_2{a}_3+\cdots +{\log }_2{a}_{2n-1}=$ ()

A. $n(2n-1)$　　　　B. $(n+1{)}^2$　　　　C. $n^2$　　　　D. $(n-1{)}^2$

🔍【思路分析】

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1. 根据等比数列的性质，有 $a_1\cdot a_{2n-1}=a_5\cdot a_{2n-5}=2^{2n}$。

2. 设 $b_n={\log }_2{a}_n$，将目标代数式转化为等差数列的奇数项求和。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $b_n={\log }_2{a}_n$。因为 $\{a_n\}$ 为等比数列，所以 $\{b_n\}$ 为等差数列。 由 $a_5\cdot a_{2n-5}=2^{2n}$，两边取以 2 为底的对数得： ${\log }_2{a}_5+{\log }_2{a}_{2n-5}=2n⟹b_5+b_{2n-5}=2n$。 根据等差数列的性质，因为 $5+(2n-5)=1+(2n-1)=2n$， 所以 $b_1+b_{2n-1}=b_5+b_{2n-5}=2n$。 所求式子为 $\{b_n\}$ 的奇数项前 $n$ 项和： $S=b_1+b_3+\cdots +b_{2n-1}$。 由于项数为 $n$，且该子序列仍为等差数列，其首尾项和为 $b_1+b_{2n-1}=2n$。 故 $S=\frac{n(b_1+b_{2n-1})}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列与等差数列的转化关系、等差数列的下标性质。

2. 核心方法：利用对数变换 $b_n={\log }_2{a}_n$ 实现“积变和”，再应用等差数列求和公式。

3. 避坑指南：注意求和项的项数。从 $a_1$ 到 $a_{2n-1}$ 的奇数项项数共为 $n$ 项，而非 $2n-1$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自等差与等比数列的对数互化模型。在教材中，常常通过 $\log a_n$ 来证明一个正项等比数列可以转化为等差数列。

2. 结论推广：若 $\{a_n\}$ 为正项等比数列，满足 ${\log }_k{a}_p+{\log }_k{a}_q=f(p+q)$，则由 $i+j=p+q$ 可得 ${\log }_k{a}_i+{\log }_k{a}_j=f(p+q)$，其等差型前 $n$ 项和具有对称分布规律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-山东卷文-20 解-等比数列与对数求和
• 2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和