2009-广东卷理-14 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查分式绝对值不等式的解法。核心在于首先确定定义域限制，然后利用绝对值的非负性进行两边平方，转化为一元一次不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 不等式 $\frac{|x+1|}{|x+2|}\ge 1$ 的实数解为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定分母不为 0 的条件，即 $x\ne -2$。

2. 将不等式转化为 $|x+1|\ge |x+2|$，由于两边均为非负数，通过两边平方去掉绝对值符号，从而化简求解。

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$(-\infty ,-2)\cup (-2,-\frac{3}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

首先，分母不能为 0，故 $|x+2|\ne 0⟹x\ne -2$。 在 $x\ne -2$ 的前提下，不等式两边同乘以 $|x+2|$ 得： $|x+1|\ge |x+2|$

因为等式两边均为非负数，两边平方得： $(x+1{)}^2\ge (x+2{)}^2$ 展开得： $x^2+2x+1\ge x^2+4x+4$ 化简移项得： $2x\le -3⟹x\le -\frac{3}{2}$

结合初始条件 $x\ne -2$，原不等式的实数解为 $(-\infty ,-2)\cup (-2,-\frac{3}{2}]$ （或 $\{x|x\le -\frac{3}{2}\text{ 且 }x\ne -2\}$）。

故填：$(-\infty ,-2)\cup (-2,-\frac{3}{2}]$ （写成集合形式亦可）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的同解变形、平方法去绝对值。

2. 核心方法：分式不等式整式化，结合区间数轴法或平方法。

3. 避坑指南：极易漏掉分母 $x\ne -2$ 的限制条件。若直接作答 $x\le -\frac{3}{2}$ 将导致完全失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中绝对值不等式基本解法的经典延伸。几何上，它表示到 $-1$ 的距离大于或等于到 $-2$ 的距离的点集。

2. 结论推广：不等式 $\frac{|x-a|}{|x-b|}\ge 1$ （其中 $a\ne b$）的解集，可以通过寻找线段 $ab$ 的中点 $\frac{a+b}{2}$，结合几何距离远近，并在挖去分母零点 $b$ 后直接写出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式