2009-广东卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查圆周角定理以及正弦定理在求解圆的外接圆半径中的应用。核心在于通过已知弦长和所对的圆周角确定圆的半径，进而计算圆的面积。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 如图，点 $A,B,C$ 是圆 $O$ 上的点，且 $AB=4$，$\angle ACB=45^{\circ }$，则圆 $O$ 的面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一：直接利用正弦定理的扩展性质 $2R=\frac{a}{\sin A}$ 求出圆的半径 $R$。

2. 方法二：利用圆周角定理，确定圆心角 $\angle AOB=90^{\circ }$，在等腰直角 $△AOB$ 中利用勾股定理求出 $R^2$。

3. 代入圆面积公式 $S=\pi R^2$ 得到答案。

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$8\pi$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（正弦定理法）： 设圆 $O$ 的半径为 $R$。在 $△ABC$ 中，由正弦定理可知： $2R=\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ 代入已知数据 $AB=4$，$\angle ACB=45^{\circ }$ 得： $2R=\frac{4}{\sin 45^{\circ }}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{2}$ 解得半径 $R=2\sqrt{2}$。 因此，圆 $O$ 的面积为： $S=\pi R^2=\pi \times (2\sqrt{2}{)}^2=8\pi$

解法二（几何性质法）： 连接 $OA,OB$。 因为圆周角 $\angle ACB=45^{\circ }$，根据圆周角定理，其所对同弧的圆心角 $\angle AOB=2\angle ACB=90^{\circ }$。 又因为 $OA=OB=R$，所以 $△AOB$ 是以 $O$ 为直角顶点的等腰直角三角形。 由勾股定理得： $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2⟹R^2+R^2=4^2⟹2R^2=16⟹R^2=8$ 因此，圆 $O$ 的面积为： $S=\pi R^2=8\pi$

故填：$8\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理中边角关系与外接圆直径的对应（$\frac{a}{\sin A}=2R$）。

2. 核心方法：初中平面几何性质（圆周角定理）与高中三角函数的交汇融合。

3. 避坑指南：注意最终求解的是圆的面积，公式为 $\pi R^2$，切勿遗漏圆周率 $\pi$ 或误将直径直接当成半径代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于选修板块“几何证明选讲”的经典基础题型，旨在考查初高中衔接阶段关于圆与三角形基本性质的熟练度。

2. 结论推广：在任意圆中，若已知某弦长为 $d$，该弦所对的圆周角为 $\alpha$，则该圆的面积恒为 $S=\pi {\left(\frac{d}{2\sin \alpha }\right)}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-08 填-正弦定理求距离
• 2011-北京卷文-09 填-正弦定理求边
• 2011-四川卷文-08 单-正弦定理化边求角