2011-四川卷文-08 单-正弦定理化边求角

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 在 $△ABC$ 中，${\sin }^{2}A\le {\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-\sin B\sin C$，则 $A$ 的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{\pi }{6}\right]$　　　　　B. $\left[\frac{\pi }{6},\pi \right)$　　　　　C. $\left(0,\frac{\pi }{3}\right]$　　　　　D. $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：化边得 $a^2\le b^2+c^2-bc$
2. 步骤2：对照余弦定理得 $\cos A\ge \frac{1}{2}$
3. 步骤3：即 $A\le \frac{\pi }{3}$

✅【答案】

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$A\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right]$。选 \textbf{C}

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 原不等式两边同乘 $(2R{)}^2$，化为 $a^2\le b^2+c^2-bc$。 移项得 $b^2+c^2-a^2\ge bc$，两边除以 $2bc$（$b,c>0$）： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\ge \frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$。 又 $A\in (0,\pi )$，$\cos A$ 在 $(0,\pi )$ 上单调递减， 故 $0<A\le \frac{\pi }{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理的变形使用；余弦函数在 $(0,\pi )$ 上的单调性。

核心方法：齐次化边 → 凑余弦定理结构 → 解三角不等式。

避坑指南：化边后不要急着配方，先观察能否凑成 $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 的结构；角 $A$ 的范围是 $(0,\pi )$ 而非 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，端点 $\frac{\pi }{3}$ 可取（等号时 $\cos A=\frac{1}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「三角齐次式 + 余弦定理」是解三角形不等式的标准链路，2011 浙江文 05、重庆文 08 同为先化边再运算。

结论推广：把 $\sin B\sin C$ 的系数改为 $2$，则得 $\cos A\ge 1$，仅直角退化时成立；系数改为 $0$ 则 $A=90^{\circ }$，系数决定角的范围，可作一题多变。

方法推广：凡 $\sin$ 的二次齐次不等式，一律乘 $(2R{)}^2$ 化边，再向余弦定理模板靠拢，最后用余弦单调性翻译回角的范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化
• 2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边
• 2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角