2009-新课标卷文-05 单-圆关于直线对称

本题导读

考查圆关于直线的对称。两圆半径不变，只需求圆心 $C_1$ 关于直线 $x-y-1=0$ 的对称点，设点列方程组解出即可。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知圆 $C_1:(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圆 $C_2$ 与圆 $C_1$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，则圆 $C_2$ 的方程为 ()

A. $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　B. $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=1$

C. $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　D. $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 半径不变，仍为 $1$。
2. 设 $C_2$ 圆心为 $(a,b)$：中点在对称直线上、连线垂直于对称直线，联立两式解 $(a,b)$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C_1$ 的圆心为 $C_1(-1,1)$，半径 $1$。对称后半径不变。 设 $C_2(a,b)$，则 $\{\begin{array}{l}\frac{a-1}{2}-\frac{b+1}{2}-1=0,\\ \frac{b-1}{a+1}=-1,\end{array}$ 即 $\{\begin{array}{l}a-b-4=0,\\ a+b=0.\end{array}$ 解得 $a=2$，$b=-2$。 故圆 $C_2:(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=1$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的对称问题

核心方法：圆心对称、半径不变

避坑指南：对称只移动圆心，半径不变；对称点满足”中点在对称轴上、连线垂直于对称轴”两条。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点关于直线的对称点是解析几何高频模型。

结论推广：设对称点 $(a,b)$ 列方程组：中点条件 + 垂直（斜率乘积 $-1$）。

方法推广：对称轴斜率为 $\pm 1$ 时也可用公式 $(a,b)$ 关于 $x-y-c=0$ 的对称点为 $(b+c,a+c)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距