2009-江西卷文-01 单-命题真假判断

本题导读

考查命题真假。”$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$ 则 $x=y$“为真（两边取倒数），B、C、D 均有反例，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 下列命题是真命题的为 ()

A. 若 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$，则 $x=y$　　　　　　　　　　　B. 若 $x^2=1$，则 $x=1$

C. 若 $x=y$，则 $\sqrt{x}=\sqrt{y}$　　　　　　　　　　　　D. 若 $x<y$，则 $x^2<y^2$

🔍【思路分析】

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1. A：$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$ 蕴含 $x\ne 0$，$y\ne 0$，两边取倒数得 $x=y$，为真。
2. B：$x=-1$ 时 $x^2=1$ 但 $x\ne 1$，假。
3. C：$x=y=-1$ 时 $\sqrt{x}$ 无意义，假。
4. D：$x=-2<y=0$ 时 $x^2=4>y^2=0$，假。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

A 中，由 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$ 知 $x$，$y$ 均不为零，等式两边同乘 $xy$ 得 $x=y$，为真命题。 B 中，$x^2=1$ 得 $x=\pm 1$，$x$ 未必为 $1$，假。 C 中，取 $x=y=-1$，前提成立而 $\sqrt{x}$ 无意义，假。 D 中，取 $x=-2$，$y=0$，则 $x^2>y^2$，假。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：命题的真假判断

核心方法：逐条举正例或反例

避坑指南：四个命题各自独立：真命题要能一般性推出（如取倒数），假命题只需一个反例（$x=-1$、$x=-2$ 这类负数是最省力的构造）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判断真假命题是逻辑与不等式的综合小题。

结论推广：$\sqrt{x}$ 有意义要求 $x⩾0$，前提为真而结论无意义也算假命题。

方法推广：平方去负根（$x^2=1$）、负数比较大小时平方变大，都是常设的反例陷阱。

🔗【关联脉络】

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