2009-江西卷文-15 填-半圆不等式解集

本题导读

考查根式不等式。$\sqrt{4-x^2}$ 即上半圆，解集 $[a,b]$ 的右端必为 $b=2$，由 $b-a=1$ 得 $a=1$，代回解得 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 若不等式 $\sqrt{4-x^2}⩽k(x+1)$ 的解集为区间 $[a,b]$，且 $b-a=1$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\sqrt{4-x^2}$ 是半径 $2$ 的上半圆；不等式右边要求 $x⩾-1$（右边非负）。
2. 解集为闭区间 $[a,b]$：$x=2$ 处左边为 $0$、右边为 $3k>0$，故 $2$ 在解集内且是其右端，$b=2$。
3. $b-a=1$ 得 $a=1$：$x=1$ 是半圆 $y=\sqrt{3}$ 与直线 $y=2k$ 的交点，$\sqrt{3}=2k$，$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 验证 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$：直线与圆交于 $x=1$ 与 $x=-\frac{13}{7}$，在 $[-1,1)$ 上不等式不成立，解集恰为 $[1,2]$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=\sqrt{4-x^2}$，其图象是半径为 $2$ 的上半圆；不等式右边 $k(x+1)$ 须非负，故解集落在 $x⩾-1$ 内。 由于解集是闭区间 $[a,b]$：在 $x=2$ 处左边为 $0$、右边为 $3k>0$，故 $2$ 属于解集且为右端点，即 $b=2$。 由 $b-a=1$ 得 $a=1$。$x=1$ 是解集的左端点，应满足等式： $\sqrt{4-1}=k(1+1)$，即 $\sqrt{3}=2k$，所以 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 验证：当 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+1)$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 交于 $x=1$ 和 $x=-\frac{13}{7}$ 两点， 在 $[-1,1)$ 上半圆位于直线上方，不等式不成立；在 $[1,2]$ 上成立。 故解集恰为 $[1,2]$，符合题意。所以 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式不等式与半圆

核心方法：几何化：半圆夹在直线下方，端点信息定 $k$

避坑指南：解集 $[a,b]$ 的右端必是圆的右端点 $b=2$；由 $b-a=1$ 得 $a=1$，$x=1$ 处取等号 $\sqrt{3}=2k$；代回验证解集恰为 $[1,2]$ 不可或缺。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sqrt{4-x^2}$ 与 $k(x+1)$ 的不等式 = 半圆与旋转直线的位置关系。

结论推广：解集为闭区间时，端点处取等号是求参数的钥匙。

方法推广：求出 $k$ 后须验证整个解集（本题为 $[1,2]$），防止另一段也满足。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积
• 2009-福建卷文-09 单-线性规划区域面积
• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域