2009-江西卷理-21 解-双曲线

本题导读

本题为解析几何综合压轴题。第一问考查利用相关点法求动点的轨迹方程，需要熟练掌握双曲线的焦点、准线坐标，并通过相似比或直线方程找到 $P$ 点与 $P_1$ 点的坐标关系。第二问考查直线与圆锥曲线的综合及圆过定点问题，核心在于将“以 $MN$ 为直径的圆过定点”转化为寻找 $y$ 轴上的定点 $K$，使得 $\overrightarrow{KM}\cdot \overrightarrow{KN}$ 为定值或存在某种不依赖于动点 $Q$ 的不变量关系。通过设出 $Q$ 点坐标，表示出 $M,N$ 的纵坐标乘积，结合轨迹 $E$ 的方程化简是解题的关键。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 已知点 $P_1(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\frac{x^2}{8b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($b$ 为正常数) 上任一点, $F_2$ 为双曲线的右焦点, 过 $P_1$ 作右准线的垂线, 垂足为 $A$, 连接 $F_{2}A$ 并延长交 $y$ 轴于 $P_2$.

(1) 求线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程;

(2) 设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B,D$ 两点, 在 $E$ 上任取一点 $Q(x_1,y_1)$ ($y_1\ne 0$), 直线 $QB,QD$ 分别交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点. 求证: 以 $MN$ 为直径的圆过两定点.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 首先确定双曲线的右焦点 $F_2$ 和右准线方程。由双曲线方程知 $a^2=8b^2$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=3b$，右焦点 $F_2(3b,0)$，右准线方程 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{8}{3}b$。
• 由于 $P_1(x_0,y_0)$，则 $A(\frac{8}{3}b,y_0)$。求出直线 $F_{2}A$ 的方程，令 $x=0$ 求得 $P_2$ 的坐标。
• 设中点 $P(x,y)$，利用中点坐标公式找出 $x,y$ 与 $x_0,y_0$ 的关系（即用 $x,y$ 表示 $x_0,y_0$）。
• 将代换后的 $x_0,y_0$ 代入双曲线方程 $\frac{x_0^2}{8b^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，化简即得轨迹 $E$ 的方程。

2. 第二问：

• 根据第一问求出的轨迹 $E$ 的方程，令 $y=0$ 求出交点 $B,D$ 的坐标（不妨设 $B(-2b,0),D(2b,0)$）。
• 设点 $Q(x_1,y_1)$，写出直线 $QB,QD$ 的方程，并求出它们在 $y$ 轴上的截距，即得到 $M(0,y_M)$ 和 $N(0,y_N)$ 的坐标。
• 利用点 $Q$ 在轨迹 $E$ 上这一条件，将 $y_M\cdot y_N$ 的表达式化简，可得 $y_M\cdot y_N=\text{常数}$。
• 设圆上定点为 $K(0,y_K)$（由对称性猜测在 $y$ 轴上）或 $K(x_K,0)$。由直径所对的圆周角为直角，转化为向量内积 $\overrightarrow{KM}\cdot \overrightarrow{KN}=0$，由此确定定点坐标。

✅【答案】

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（1）将双曲线写为𝑥2(2√2𝑏)2−𝑦2𝑏2=1.因此其半实轴为2√2𝑏，焦半距为𝑐=

✍【详细解析】

Abstract

(1) 双曲线方程为 $\frac{x^2}{8b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$， 所以 $a^2=8b^2$，$c=\sqrt{8b^2+b^2}=3b$ ($b>0$)。 右焦点 $F_2(3b,0)$，右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{8b^2}{3b}=\frac{8}{3}b$。 因为 $P_1(x_0,y_0)$，且 $P_{1}A$ 垂直于右准线，所以点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{8}{3}b,y_0\right)$。 当 $y_0\ne 0$ 时，直线 $F_{2}A$ 的斜率 $k=\frac{y_0-0}{\frac{8}{3}b-3b}=-\frac{3y_0}{b}$。 直线 $F_{2}A$ 的方程为 $y-0=-\frac{3y_0}{b}(x-3b)$，即 $y=-\frac{3y_0}{b}(x-3b)$。 令 $x=0$，得 $P_2$ 的纵坐标 $y_{P_2}=9y_0$，所以 $P_2(0,9y_0)$。 当 $y_0=0$ 时，$A(\frac{8}{3}b,0)$，$F_{2}A$ 为 $x$ 轴，交 $y$ 轴于原点，即 $P_2(0,0)$，坐标公式仍然适用。 设线段 $P_1{P}_2$ 的中点为 $P(x,y)$，则： $\{\begin{array}{l}x=\frac{x_0+0}{2}\\ y=\frac{y_0+9y_0}{2}=5y_0\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}{x}_0=2x\\ y_0=\frac{y}{5}\end{array}$。 因为 $P_1(x_0,y_0)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{8b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上， 所以 $\frac{(2x{)}^2}{8b^2}-\frac{(y/5{)}^2}{b^2}=1$， 化简得 $\frac{x^2}{2b^2}-\frac{y^2}{25b^2}=1$。 故点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{2b^2}-\frac{y^2}{25b^2}=1$。

(2) 轨迹 $E$ 为双曲线 $\frac{x^2}{2b^2}-\frac{y^2}{25b^2}=1$。 令 $y=0$，得 $x^2=2b^2$，即 $x=\pm \sqrt{2}b$。 设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B(-\sqrt{2}b,0)$，$D(\sqrt{2}b,0)$ 两点。 在 $E$ 上任取一点 $Q(x_1,y_1)$ ($y_1\ne 0$)，则有 $\frac{x_1^2}{2b^2}-\frac{y_1^2}{25b^2}=1$，即 $y_1^2=\frac{25}{2}(x_1^2-2b^2)$。 直线 $QB$ 的方程为 $y-0=\frac{y_1-0}{x_1-(-\sqrt{2}b)}(x-(-\sqrt{2}b))$，即 $y=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}b}(x+\sqrt{2}b)$。 令 $x=0$，得点 $M$ 的纵坐标 $y_M=\frac{\sqrt{2}b{y}_1}{x_1+\sqrt{2}b}$。 同理，直线 $QD$ 的方程为 $y=\frac{y_1}{x_1-\sqrt{2}b}(x-\sqrt{2}b)$。 令 $x=0$，得点 $N$ 的纵坐标 $y_N=\frac{-\sqrt{2}b{y}_1}{x_1-\sqrt{2}b}$。 故 $M(0,y_M)$，$N(0,y_N)$。 计算 $y_M\cdot y_N=\frac{\sqrt{2}b{y}_1}{x_1+\sqrt{2}b}\cdot \frac{-\sqrt{2}b{y}_1}{x_1-\sqrt{2}b}=\frac{-2b^2{y}_1^2}{x_1^2-2b^2}$。 将 $y_1^2=\frac{25}{2}(x_1^2-2b^2)$ 代入上式，得： $y_M\cdot y_N=\frac{-2b^2\cdot \frac{25}{2}(x_1^2-2b^2)}{x_1^2-2b^2}=-25b^2$。 这是一个定值，即 $M,N$ 在 $y$ 轴上位于原点两侧，且其纵坐标乘积恒为 $-25b^2$。 假设存在定点 $K$ 在以 $MN$ 为直径的圆上。由图形对称性，定点应在 $x$ 轴上。 设 $K(t,0)$，由于以 $MN$ 为直径的圆过点 $K$，则 $KM\perp KN$，即 $\overrightarrow{KM}\cdot \overrightarrow{KN}=0$。 $\overrightarrow{KM}=(-t,y_M)$，$\overrightarrow{KN}=(-t,y_N)$。 $\overrightarrow{KM}\cdot \overrightarrow{KN}=(-t)\cdot (-t)+y_M\cdot y_N=t^2-25b^2=0$。 解得 $t^2=25b^2$，即 $t=\pm 5b$。 故以 $MN$ 为直径的圆过两个定点，定点坐标为 $(-5b,0)$ 和 $(5b,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 待定点法（相关点法）求轨迹方程，圆锥曲线上动点引出的两直线在坐标轴上截距的乘积为定值模型，以及圆过定点的向量转化法。
2. 核心方法：

• 代入法（相关点法）： 设出所求动点坐标，找出其与已知曲线上动点坐标的关系式，反解后代入已知曲线方程化简。
• “乘积定值”模型： 当题目出现两直线交于同一动点且交同一坐标轴时，往往截距乘积为定值，应果断通过代入曲线方程将其化简为常数。

3. 避坑指南：

• 在第一问求 $P_2$ 坐标时，容易误用 $P_1$ 或中点坐标公式导致错误，务必严谨地通过求直线 $F_{2}A$ 与 $y$ 轴交点来确定。
• 第二问中，证明“圆过定点”最佳策略是利用直径所对圆周角为 $90^{\circ }$，转化为两向量内积为零（$\overrightarrow{KM}\cdot \overrightarrow{KN}=0$），从而避免了写出复杂的圆的方程。猜测定点在 $x$ 轴上是利用了图形关于 $x$ 轴对称的性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典的“张角模型”在坐标轴上的投影问题。其高数背景与射影几何中的对合变换（Involution）和交比（Cross-ratio）有关。
2. 结论推广: 一般地，对于圆锥曲线 $\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $x$ 轴的交点 $A,B$，曲线上异于 $A,B$ 的动点 $P$ 连线 $PA,PB$ 交直线 $x=m$ 于 $M,N$ 两点时，线段 $MN$ 上以 $x$ 轴为对称轴的某两个定点连线对 $MN$ 也张成直角。截距之积 $y_M\cdot y_N$ 必定是一个不依赖于动点 $P$ 的常数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线