2009-浙江卷理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用，核心在于运用二项展开式的通项公式，通过待定指数方程求解特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 在二项式 ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的展开式中，含 $x^4$ 的项的系数是 ()

A. $-10$　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. $-5$　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 写出二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}$。

2. 整合 $x$ 的指数部分，令其等于 4，解出未知数 $r$。

3. 将 $r$ 代入系数部分进行组合数与常数幂次的计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r(x^2{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\text{C}}_5^r(-1{)}^r{x}^{10-2r}{x}^{-r}={\text{C}}_5^r(-1{)}^r{x}^{10-3r}$ 令 $x$ 的指数为 4，得： $10-3r=4⟹3r=6⟹r=2$ 将 $r=2$ 代入系数项，所得含 $x^4$ 项的系数为： ${\text{C}}_5^2(-1{)}^2=10\times 1=10$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用。

2. 核心方法：指数方程待定法。

3. 避坑指南: 切记不要遗漏项中的负号，如本题中 $b=-\frac{1}{x}$，负号产生的 $(-1{)}^r$ 需独立分离出来参与最后的系数运算，否则极易错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材二项式定理章节的标准典型例题，重在考查考生的代数式化简与指数幂运算基本功。

2. 结论推广: 对于 ${\left(x^m+k{x}^{-n}\right)}^p$ 的展开式，其特定项 $x^A$ 的对应项序数由方程 $mp-(m+n)r=A$ 唯一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理