2009-浙江卷理-08 单-三角函数

本题导读

本题考查含参正弦型函数 $f(x)=1+a\sin ax$ 的图象识别。解题关键在于建立函数振幅（最值）与周期（频率）对于同一个参数 $a$ 的双重约束关系。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 已知 $a$ 是实数，则函数 $f(x)=1+a\sin ax$ 的图象不可能是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数 $f(x)=1+a\sin ax$ 的基本特征：其图象必过定点 $(0,1)$；最大值为 $1+|a|$；最小值为 $1-|a|$；最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|a|}$。

2. 建立结构制约：振幅 $|a|$ 决定了图象偏离中心线 $y=1$ 的最高/最低距离，而决定周期的系数也是 $a$，两者由同一参数绑定。

3. 逐一验证选项：特别注意当 $a=0$ 时图象为常数函数；当 $a\ne 0$ 时，验证由特定周期得出的 $|a|$ 值与图象表现的最大值是否自洽。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于函数 $f(x)=1+a\sin ax$：

• 当 $a=0$ 时，$f(x)=1$，其图象为一条穿过 $(0,1)$ 且平行于 $x$ 轴的直线，对应图 C，故 C 选项可能，排除 C。
• 当 $a\ne 0$ 时，该函数最大值为 $1+|a|$，最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|a|}$。

分析图 A： 由图象可知，函数在 $x=2\pi$ 处刚好完成一个完整周期，即最小正周期 $T=2\pi$。 由 $T=\frac{2\pi }{|a|}=2\pi$，解得 $|a|=1$。 当 $|a|=1$ 时，该函数的最大值应为 $1+|a|=1+1=2$。 但图 A 中波峰明显低于虚线 $y=2$，二者相互矛盾，故图 A 的图象是不可能的。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+k$ 中参数的几何意义与内在联系。

2. 核心方法：参数制约特征分析法。抓住“同一个参数 $a$ 既作为振幅又作为角速度系数”这一关键特征破题。

3. 避坑指南：容易忽视对 $a=0$ 特殊情况的讨论；辨析图象时，切忌将周期与最值孤立开来分析，必须验证由同一参数得出的周期与振幅是否在同一幅图中完全自洽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题来源于教材中“函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象”章节，通过将振幅 $A$ 与角速度 $\omega$ 设为同一个未知数 $a$，极大地提升了图象定性辨析的思维深度。

2. 结论推广: 对于函数 $y=k+a\sin ax$，其波峰高度 $y_{max}=k+|a|$ 与波长 $T=\frac{2\pi }{|a|}$ 成反比关系，即“越陡峭的波形（$|a|$大）其峰值越高；越平缓的波形（$|a|$小）其峰值越低”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数