2009-浙江卷理-17 填-面面垂直

本题导读

本题是一道平面图形立体翻折的解析几何/立体几何交汇压轴小题。核心考查意图在于利用面面垂直性质定理，将空间点的高和空间线段长度转化为平面投影点的位置分布，从而通过动点区间范围求解待定参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 如图, 在长方形 $ABCD$ 中, $AB=2,BC=1,E$ 为 $DC$ 的中点, $F$ 为线段 $EC$ (端点除外) 上一动点. 现将 $△AFD$ 沿 $AF$ 折起, 使平面 $ABD\perp$ 平面 $ABC$. 在平面 $ABD$ 内过点 $D$ 作 $DK\perp AB,K$ 为垂足. 设 $AK=t$, 则 $t$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻折后平面 $AFD\perp$ 平面 $ABC$（即平面 $ABCF$），两平面交线为 $AF$。根据面面垂直的性质定理，从 $D$ 点向平面 $ABC$ 作垂线，垂足 $H$ 必然落在交线 $AF$ 上。

2. 在空间中由 $DK\perp AB$，根据垂线在底面的投影规律，点 $D$ 在底面上的射影 $H$ 向 $AB$ 引垂线，垂足必然也是 $K$。因此，点 $K$ 的横坐标（即距离 $AK=t$）与点 $H$ 的横坐标完全相等。

3. 在折起前（即原矩形中）， $H$ 实际上就是点 $D(0,1)$ 在直线 $AF$ 上的正射影点。通过设定动点 $F$ 的横坐标变量，用投影公式表达出 $H$ 的横坐标 $t$，最终转化为求单变量函数在开区间上的值域。

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$\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

在原长方形 $ABCD$ 所在平面内建立直角坐标系，以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴。 则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(2,0)$，$D(0,1)$。 因为 $E$ 是一条长为 2 的边 $CD$ 的中点，所以 $E(1,1)$。 动点 $F$ 在线段 $EC$ 上（不含端点），设 $F(1+x,1)$，其中 $x\in (0,1)$。 则向量 $\overrightarrow{AF}=(1+x,1)$。

翻折后，平面 $AFD\perp$ 平面 $ABCF$，交线为 $AF$。 设折起后点 $D$ 在底面 $ABCF$ 上的正射影为 $H$。由于面面垂直， $H$ 必然落在交线 $AF$ 上。 又因为 $DK\perp AB$（$AB$ 位于底面 $x$ 轴上），根据射影定理，空间中 $D$ 到 $x$ 轴的垂足与底面投影点 $H$ 到 $x$ 轴的垂足重合，即 $HK\perp AB$。 由此可知，点 $H$ 的横坐标大小即为线段 $AK$ 的长度 $t$。

在原平面图形中，由于 $DH\perp AF$（因为 $H$ 在 $AF$ 上且是 $D$ 的射影）， $H$ 就是点 $D$ 在直线 $AF$ 上的投影点。 由向量投影公式，向量 $\overrightarrow{AH}$ 的表达式为： $\overrightarrow{AH}=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AF}{|}^2}\overrightarrow{AF}$ 已知 $\overrightarrow{AD}=(0,1)$， $\overrightarrow{AF}=(1+x,1)$，代入得： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}=0\times (1+x)+1\times 1=1$ $|\overrightarrow{AF}{|}^2=(1+x{)}^2+1^2$ 所以： $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{(1+x{)}^2+1}(1+x,1)=\left(\frac{1+x}{(1+x{)}^2+1},\frac{1}{(1+x{)}^2+1}\right)$ 故点 $H$ 的横坐标为 $t=\frac{1+x}{(1+x{)}^2+1}$。

下面求 $t$ 在 $x\in (0,1)$ 上的值域： 令 $u=1+x$，由于 $x\in (0,1)$，则 $u\in (1,2)$。 表达式变形为： $t=\frac{u}{u^2+1}=\frac{1}{u+\frac{1}{u}}$ 因为 $u\in (1,2)$，根据对勾函数的单调性， $y=u+\frac{1}{u}$ 在 $(1,2)$ 上严格单调递增： 当 $u\to 1$ 时， $u+\frac{1}{u}\to 2$； 当 $u\to 2$ 时， $u+\frac{1}{u}\to 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。 因此 $u+\frac{1}{u}\in \left(2,\frac{5}{2}\right)$。 取倒数可得 $t$ 的取值范围是： $t\in \left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$

答案为：$\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：翻折几何体中的不变量与变盘判定、面面垂直的垂线空间落点分析、构造函数求最值。

2. 核心方法：底面投影化归法。通过将空间交角与空间长度投影到基准底面上，转化为二维平面坐标向量运算，能有效避免复杂的空间立体几何推导。

3. 避坑指南：容易误认为折起后点 $D$ 的三维坐标变化无法跟踪。核心是要吃透“平面 $AFD\perp$ 平面 $ABC$”这一特定条件，这直接锁定了投影点 $H$ 就在交线 $AF$ 上，从而实现了空间向平面的降维。另外注意题设“端点除外”，区间两端必须是开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材立体几何初步中“折纸问题”的定量化延伸升级而来，通过引入动点和垂直边界限制，考查动态图形的包络范围。

2. 结论推广: 若矩形短边为 $b$，长边为 $a$，翻折满足上述条件时，垂足跨度 $t$ 的代数通式结构均为 $t(x)=\frac{b^2\cdot u}{u^2+b^2}$，可以通过完全相同的对勾函数求导方式直接锁定值域边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数