2009-浙江卷理-18 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换、平面向量数量积与解三角形的综合应用。核心在于通过二倍角公式与向量数量积求出边的乘积及夹角余弦值，进而结合余弦定理求解未知边。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且满足 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$， $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3$.

(1) 求 $△ABC$ 的面积；

(2) 若 $b+c=6$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由二倍角公式 $\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}-1$ 求出 $\cos A$，进而得到 $\sin A$。利用向量数量积公式 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=3$ 求出 $bc$ 的值，代入面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 即可。

2. 第二问：利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，将等式右边变形为 $(b+c{)}^2-2bc-2bc\cos A$，代入已知数据整体计算出 $a^2$，开方即可。

✅【答案】

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（1）由半角公式，cos𝐴=2cos2𝐴2−1=2⎛⎜⎝2√5

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 因为 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$， 所以 $\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}-1=2\times {\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}^2-1=2\times \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$. 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$. 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3$ 得： $bc\cos A=3⟹bc\times \frac{3}{5}=3⟹bc=5$ 故 $△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{4}{5}=2$

(2) 由余弦定理及代数恒等变形得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=(b+c{)}^2-2bc-2bc\cos A$ 将 $b+c=6$，$bc=5$，$\cos A=\frac{3}{5}$ 代入上式中： $a^2=6^2-2\times 5-2\times 5\times \frac{3}{5}=36-10-6=20$ 因为 $a>0$，所以 $a=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角余弦公式、向量数量积的定义、解三角形面积与余弦定理。

2. 核心方法：整体代换法。在第二问中不需要单独解出 $b$ 和 $c$ 的值，通过乘法公式将 $b^2+c^2$ 转化为 $(b+c{)}^2-2bc$ 整体代入更高效。

3. 避坑指南：注意二倍角公式中角度的倍数关系，切勿将 $\cos A$ 错写成 $\sqrt{1-{\cos }^2\frac{A}{2}}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于教材中向量数量积定义与解三角形章节的基本公式交汇改编，是高考中经典的解三角形解答题模型。

2. 结论推广: 在任意 $△ABC$ 中，若已知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=m$，则该三角形的面积通式可表示为 $S=\frac{1}{2}m\tan A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数