2009-湖北卷文-10 单-三角形数与正方形数

本题导读

考查数列新定义。$1225=35^2$ 且 $1225=\frac{49\times 50}{2}$，既是正方形数又是三角形数，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 $1$ 中的 $1$，$3$，$6$，$10$，$\cdots$，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 $2$ 中的 $1$，$4$，$9$，$16$，$\cdots$ 这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()

A. $289$　　　　　　B. $1024$　　　　　　C. $1225$　　　　　　D. $1378$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角形数通项 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，正方形数通项 $b_n=n^2$。
2. $289=17^2$，但 $\frac{n(n+1)}{2}=289$ 无正整数解，排除 A。
3. $1024=32^2$，但 $n(n+1)=2048$ 无正整数解，排除 B。
4. $1225=35^2$，且 $\frac{49\times 50}{2}=1225$，合题，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

三角形数满足 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，正方形数满足 $b_n=n^2$。 $289=17^2$ 为正方形数，但 $n(n+1)=578$ 无正整数解，不是三角形数； $1024=32^2$ 为正方形数，但 $n(n+1)=2048$ 无正整数解，不是三角形数； $1225=35^2$ 为正方形数，且 $\frac{49\times 50}{2}=1225$，也是三角形数，合题； $1378=\frac{52\times 53}{2}$ 为三角形数，但 $1378$ 不是完全平方数。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的新定义

核心方法：三角形数 $\frac{n(n+1)}{2}$、正方形数 $n^2$，交集中的数

避坑指南：$1225=35^2=\frac{49\times 50}{2}$；$289$，$1024$ 不是三角形数，$1378$ 不是平方数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：检验完全平方数优先，再验 $n(n+1)=2N$ 的整数解。

结论推广：$n(n+1)=2N$ 时 $4\times 2N+1$ 应为完全平方数，可快速排除。

方法推广：记住小规模”三角-正方形数”：$1$，$36$，$1225$，$41616$（普吕克数列）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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