2009-湖北卷文-21 解-导数最值恒成立

本题导读

考查导数综合。$b=-1$，$c=3$；$|b|>1$ 时 $M>2$；$k$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 已知关于 $x$ 的函数 $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+bc$，其导函数为 $f^{\prime }(x)$.令 $g(x)=|f^{\prime }(x)|$，记函数 $g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值为 $M$.

(1)如果函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$，试确定 $b$、$c$ 的值；

(2)若 $|b|>1$，证明对任意的 $c$，都有 $M>2$；

(3)若 $M⩾k$ 对任意的 $b$、$c$ 恒成立，试求 $k$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$。
2. (1) $f^{\prime }(1)=0$ 给 $c=1-2b$；$f(1)=-\frac{4}{3}$ 给 $b+c+bc=-1$，代入得 $1-2b^2=-1$，$b=\pm 1$。
3. $b=1$，$c=-1$ 时 $f^{\prime }(x)=-(x-1{)}^2$ 不变号，舍；$b=-1$，$c=3$ 时 $f^{\prime }(x)=-(x-1)(x+3)$ 变号，合题。
4. (2) 记 $u=f^{\prime }(1)=c+2b-1$，$v=f^{\prime }(-1)=c-2b-1$，$|u|+|v|⩾|u-v|=|4b|>4$。
5. 故 $\max (|u|,|v|)>2$，而 $M⩾\max (|f^{\prime }(1)|,|f^{\prime }(-1)|)$，得 $M>2$。
6. (3) $f^{\prime }(0)=c$，故 $M⩾|c|$；又 $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)=2(c-1)$，故 $M⩾|c-1|$。
7. $|c|+|c-1|⩾1$，故 $M⩾\frac{1}{2}$。
8. 取 $b=0$，$c=\frac{1}{2}$：$f^{\prime }(x)=-x^2+\frac{1}{2}$，$[-1,1]$ 上 $|f^{\prime }|⩽\frac{1}{2}$，$M=\frac{1}{2}$，故 $k_{\max }=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1) $b=-1$，$c=3$；(2)证明见解析；(3)$k$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$。 （1）由 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值，$f^{\prime }(1)=-1+2b+c=0$，即 $c=1-2b$。 又 $f(1)=-\frac{1}{3}+b+c+bc=-\frac{4}{3}$，即 $b+c+bc=-1$。 代入 $c=1-2b$，得 $1-2b^2=-1$，$b=\pm 1$。 当 $b=1$，$c=-1$ 时，$f^{\prime }(x)=-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2⩽0$，导数不变号，$x=1$ 不是极值点，舍去； 当 $b=-1$，$c=3$ 时，$f^{\prime }(x)=-x^2-2x+3=-(x-1)(x+3)$，在 $x=1$ 左侧为正、右侧为负，$x=1$ 为极大值点。 故 $b=-1$，$c=3$。 （2）记 $u=f^{\prime }(1)=c+2b-1$，$v=f^{\prime }(-1)=c-2b-1$。 $|u|+|v|⩾|u-v|=|4b|>4$，所以 $|u|$，$|v|$ 中较大者大于 $2$。 而 $M⩾\max \{|f^{\prime }(1)|,|f^{\prime }(-1)|\}=\max \{|u|,|v|\}$，故对任意 $c$ 都有 $M>2$。 （3）由 $f^{\prime }(0)=c$，得 $M⩾|c|$； 又 $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)=2(c-1)$，故 $M⩾\max \{|f^{\prime }(1)|,|f^{\prime }(-1)|\}⩾\left|\frac{f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)}{2}\right|=|c-1|$。 所以 $M⩾\max \{|c|,|c-1|\}⩾\frac{|c|+|c-1|}{2}⩾\frac{1}{2}$。 另一方面，取 $b=0$，$c=\frac{1}{2}$，则 $f^{\prime }(x)=-x^2+\frac{1}{2}$，当 $-1⩽x⩽1$ 时 $-\frac{1}{2}⩽f^{\prime }(x)⩽\frac{1}{2}$，$M=\frac{1}{2}$。 故对任意 $b$，$c$ 恒成立的 $k$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与绝对值最值

核心方法：极值条件定参；$|u|+|v|⩾|u-v|$ 与 $M⩾\max \{|c|,|c-1|\}$ 两条下界

避坑指南：$b=-1$，$c=3$（$b=1$ 不变号舍去）；$|f^{\prime }(1)|+|f^{\prime }(-1)|⩾4|b|$ 给 $M>2$；取 $b=0$，$c=\frac{1}{2}$ 得 $k_{\max }=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“有极值”必须检验导数变号，$f^{\prime }=0$ 有根不等于有极值。

结论推广：绝对值下界估计：$\max (|u|,|v|)⩾\frac{|u-v|}{2}$ 与 $⩾\frac{|u+v|}{2}$ 两条各取所需。

方法推广：求 $k$ 的最大值是”下界 + 构造取等”两步：只证下界不算完成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域