2009-湖北卷理-02 单-函数

本题导读

本题考查反函数的概念与求法、分式函数的值域，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 函数 $y=\frac{1-ax}{1+ax}\left(x\in \mathbf{R},x\ne -\frac{1}{a}\right)$ 的反函数是 ()

A. $y=\frac{1-ax}{1+ax}\left(x\in \mathbf{R},x\ne -\frac{1}{a}\right)$　　　　　B. $y=\frac{1+ax}{1-ax}\left(x\in \mathbf{R},x\ne \frac{1}{a}\right)$

C. $y=\frac{1+x}{a(1-x)}(x\in \mathbf{R},x\ne 1)$　　　　　　D. $y=\frac{1-x}{a(1+x)}(x\in \mathbf{R},x\ne -1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将原函数解析式中的 $x$ 用 $y$ 表示（反解 $x$）。
2. 对调 $x,y$ 得到反函数解析式，并通过原函数的值域确定反函数的定义域。

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1-ax}{1+ax}$ 去分母得： $y(1+ax)=1-ax⟹y+axy=1-ax$ 移项提公因式得：$ax(y+1)=1-y$ 由于 $x\ne -\frac{1}{a}$，则 $1+ax\ne 0$，从而 $y\ne -1$，即 $y+1\ne 0$。 解得 $x=\frac{1-y}{a(1+y)}$。 对调 $x,y$ 得反函数解析式为：$y=\frac{1-x}{a(1+x)}$。 因为原函数的值域为 $\{y|y\in \mathbf{R},y\ne -1\}$，所以反函数的定义域为 $\{x|x\in \mathbf{R},x\ne -1\}$。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求解步骤。
2. 核心方法：反解自变量法。
3. 避坑指南：求反函数时极易遗漏或忽略反函数的定义域。反函数的定义域必须是原函数的值域，不能直接由反函数解析式想当然得出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于一阶线性分式变换（Mobius变换）的逆变换。
2. 结论推广：函数 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$ 的反函数为 $y=\frac{-bx+d}{ax-c}$。本题中 $c=-a,d=1,a=a,b=1$，代入公式即得 $y=\frac{-x+1}{ax-(-a)}=\frac{1-x}{a(x+1)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性