2009-湖北卷理-13 填-解三角形

本题导读

本题考查球面距离与球的性质、直线与圆相切，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域.为了转播 2008 年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 $36000\text{ km}$. 已知地球半径约为 $6400\text{ km}$, 则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为$\underline{}$ $\text{ km}$. (结果中保留反余弦的符号)

🔍【思路分析】

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1. 做出地球与卫星的轴截面图，卫星覆盖区域的边界由过卫星的地球切线决定。
2. 利用直角三角形求出覆盖区域边界点对地心的张角（圆心角）。
3. 覆盖区域内任意两点球面距离最大值即为边界圆直径两端点间的球面弧长，利用弧长公式 $L=R\cdot \theta$ 计算。

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$12800\arccos \frac{8}{53}$

✍【详细解析】

Abstract

设地球中心为 $O$，“中星九号”卫星位置为 $S$。地球半径 $R=6400\text{ km}$，卫星离地面高度 $h=36000\text{ km}$。 则地心到卫星的距离 $OS=R+h=6400+36000=42400\text{ km}$。 从卫星 $S$ 向地球引切线，切点为 $P$，则 $△OPS$ 为直角三角形（$\angle OPS=90^{\circ }$）。 设 $\angle POS=\theta$，则： $\cos \theta =\frac{OP}{OS}=\frac{6400}{42400}=\frac{8}{53}$ 所以 $\theta =\arccos \frac{8}{53}$。 卫星覆盖的区域是一个以 $S$ 为顶点的圆锥与地球相切所截出的球面冠。 该区域内任意两点间球面距离的最大值，即为该圆冠边界圆直径两端点（设为 $P_1,P_2$）之间的球面距离。 此时，这两点对地心 $O$ 的张角最大，最大圆心角为 $2\theta =2\arccos \frac{8}{53}$。 根据球面距离公式（弧长公式），最大球面距离为： $L=R\cdot (2\theta )=6400\times 2\arccos \frac{8}{53}=12800\arccos \frac{8}{53}\text{ km}$ 答案：$12800\arccos \frac{8}{53}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离的定义（过两点的大圆劣弧长），立体几何应用题的空间想象与平面化转化。
2. 核心方法：轴截面法，反三角函数三角比表示。
3. 避坑指南：容易误将最大距离当成切点到卫星的直线距离，或误把圆心角错算为 $\theta$（应为 $2\theta$）；注意结果需严格按照题目要求保留反余弦（$\arccos$ 或 $\text{arccos}$）符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何中经典的地学视界（Horizonal limit）与通信卫星覆盖率计算模型，是典型的跨学科应用创新题。
2. 结论推广：若天体半径为 $R$，卫星高度为 $h$，则单颗卫星的最大覆盖弧长公式为 $L=2R\arccos \frac{R}{R+h}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数