2009-湖北卷理-17 解-三角函数

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与模、向量数量积与垂直的充要条件。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$\mathbf{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )$，$\mathbf{c}=(-1,0)$.

(1) 求向量 $\mathbf{b}+\mathbf{c}$ 的长度的最大值；

(2) 设 $\alpha =\frac{\pi }{4}$，且 $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}+\mathbf{c})$，求 $\cos \beta$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据向量加法的坐标法则求出 $\mathbf{b}+\mathbf{c}$ 的坐标表示，再利用模的公式展开化简，利用余弦函数的值域求出最大值。
2. 第二问：根据向量垂直的充要条件（数量积为0）列出代数方程，将 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 代入后得到关于 $\cos \beta$ 和 $\sin \beta$ 的齐次方程，联立同角三角函数的平方关系求出 $\cos \beta$。

✅【答案】

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$（1）\mid \mathbf{b}+\mathbf{c}\mid 2=(cos𝛽-1)2+sin2𝛽=2-2cos𝛽.$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意得： $\mathbf{b}+\mathbf{c}=(\cos \beta -1,\sin \beta )$ 则其模长为： $|\mathbf{b}+\mathbf{c}|=\sqrt{(\cos \beta -1{)}^2+{\sin }^2\beta }$ $=\sqrt{{\cos }^2\beta -2\cos \beta +1+{\sin }^2\beta }$ $=\sqrt{2-2\cos \beta }$ ∵ $-1\le \cos \beta \le 1$ ∴ 当 $\cos \beta =-1$ 时，$2-2\cos \beta$ 取得最大值 $4$。 故向量 $\mathbf{b}+\mathbf{c}$ 的长度的最大值为 $\sqrt{4}=2$。

（2）当 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 时，$\mathbf{a}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。 ∵ $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}+\mathbf{c})$ ∴ $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=0$ 即：$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \beta -1)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \beta =0$ 化简得：$\cos \beta +\sin \beta =1⟹\sin \beta =1-\cos \beta$ 代入同角三角函数关系式 ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$ 中，得： $(1-\cos \beta {)}^2+{\cos }^2\beta =1$ $1-2\cos \beta +2{\cos }^2\beta =1⟹2\cos \beta (\cos \beta -1)=0$ 解得 $\cos \beta =0$ 或 $\cos \beta =1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量与三角函数的交叉汇合，向量模公式的应用。
2. 核心方法：坐标化法，三角方程消元法。
3. 避坑指南：第(2)问求出 $\cos \beta +\sin \beta =1$ 后，注意必须要结合隐含条件 ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$ 构造方程组求解，切勿凭空猜测；两个解均在余弦函数值域 $[-1,1]$ 内，全部符合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中平面向量数量积及三角恒等变换的综合训练题，是高考中经典的“三角向量一体化”中档题。
2. 结论推广：因为 $\mathbf{b}$ 是单位圆上的动向量，$\mathbf{c}$ 是定向量，从几何角度看，$|\mathbf{b}+\mathbf{c}|$ 的最大值即为单位圆上的动点到点 $(1,0)$ 的最大距离，显然当两向量方向相同时取得最大值，即为 $|\mathbf{b}|+|\mathbf{c}|=1+1=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数