2009-湖北卷理-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 过抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的对称轴上一点 $A(a,0)(a>0)$ 的直线与抛物线相交于 $M、N$ 两点，自 $M、N$ 向直线 $l:x=-a$ 作垂线，垂足分别为 $M_1、N_1$.

(1) 当 $a=\frac{p}{2}$ 时，求证：$A{M}_1\perp A{N}_1$；

(2) 记 $△AM{M}_1$、$△A{M}_1{N}_1$、$△AN{N}_1$ 的面积分别为 $S_1、S_2、S_3$，是否存在 $\lambda$，使得对任意的 $a>0$，都有 $S_2^2=\lambda S_1{S}_3$ 成立？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：当 $a=\frac{p}{2}$ 时，点 $A$ 为抛物线焦点，直线 $l$ 为准线。写出 $M_1,N_1$ 的坐标，利用焦点弦性质 $y_1{y}_2=-p^2$ 证明 $\overrightarrow{A{M}_1}\cdot \overrightarrow{A{N}_1}=0$。
2. 第二问：设直线 $MN$ 方程为 $x=ky+a$，与抛物线联立得到韦达定理形式。分别用 $y_1,y_2$ 表示出三个三角形的面积，通过代数变形化简 $S_2^2$ 与 $S_1{S}_3$，求出常数比值 $\lambda$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 当 $a=\frac{p}{2}$ 时，点 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$ 为抛物线的焦点，直线 $l:x=-\frac{p}{2}$ 为准线。 设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则垂足坐标为 $M_1\left(-\frac{p}{2},y_1\right)$，$N_1\left(-\frac{p}{2},y_2\right)$。 由于直线 $MN$ 过焦点 $A$，根据抛物线焦点弦性质，有 $y_1{y}_2=-p^2$。 计算向量频乘： $\overrightarrow{A{M}_1}=\left(-p,y_1\right)$，$\overrightarrow{A{N}_1}=\left(-p,y_2\right)$ $\overrightarrow{A{M}_1}\cdot \overrightarrow{A{N}_1}=(-p)\cdot (-p)+y_1{y}_2=p^2-p^2=0$ 故 $\overrightarrow{A{M}_1}\pm \overrightarrow{A{N}_1}$，即 $A{M}_1\perp A{N}_1$。

(2) 解： 存在 $\lambda =4$ 满足题意。理由如下： 由题意，直线 $MN$ 的斜率显然不为 0，故可设直线 $MN$ 的方程为 $x=ky+a$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x=ky+a\\ y^2=2px\end{array}⟹y^2-2pky-2pa=0$ 由韦达定理得：$y_1+y_2=2pk$，$y_1{y}_2=-2pa$。 由已知，垂足坐标为 $M_1(-a,y_1)$，$N_1(-a,y_2)$。

各三角形面积计算如下：

• $△AM{M}_1$ 的底边 $M{M}_1=x_1-(-a)=x_1+a$，高为 $|y_1|$： $S_1=\frac{1}{2}(x_1+a)|y_1|=\frac{1}{2}\left(\frac{y_1^2}{2p}+a\right)|y_1|=\frac{|y_1|(y_1^2+2pa)}{4p}$
• $△AN{N}_1$ 同理可得： $S_3=\frac{1}{2}(x_2+a)|y_2|=\frac{|y_2|(y_2^2+2pa)}{4p}$
• $△A{M}_1{N}_1$ 的底边 $M_1{N}_1=|y_1-y_2|$，高为点 $A(a,0)$ 到直线 $x=-a$ 的距离 $2a$： $S_2=\frac{1}{2}\cdot |y_1-y_2|\cdot 2a=a|y_1-y_2|$ $S_2^2=a^2(y_1-y_2{)}^2=a^2[(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2]=a^2(4p^2{k}^2+8pa)=4a^{2}p(p{k}^2+2a)$

再计算 $S_1{S}_3$ 的乘积式： $S_1{S}_3=\frac{|y_1{y}_2|\cdot [y_1^2{y}_2^2+2pa(y_1^2+y_2^2)+4p^2{a}^2]}{16p^2}$ 将 $|y_1{y}_2|=2pa$ 及 $y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2=4p^2{k}^2+4pa$ 代入上式： $S_1{S}_3=\frac{2pa\cdot [4p^2{a}^2+2pa(4p^2{k}^2+4pa)+4p^2{a}^2]}{16p^2}$ $S_1{S}_3=\frac{2pa\cdot [8p^2{a}^2+8p^{3}a{k}^2+8p^2{a}^2]}{16p^2}=\frac{2pa\cdot 8p^{2}a(2a+p{k}^2)}{16p^2}=a^{2}p(p{k}^2+2a)$ 比较 $S_2^2$ 与 $S_1{S}_3$ 可得： $S_2^2=4S_1{S}_3$ 故存在常数 $\lambda =4$，使得对任意的 $a>0$ 恒等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

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1. 核心考点：抛物线的标准坐标与韦达定理的联立系统，利用纵坐标表示横坐标及对应线段长度。
2. 核心方法：设直线为 $x=ky+a$ 而非 $y=k(x-a)$，这样可以免去对斜率不存在情况的分类讨论，从而精简过程。
3. 避坑指南：计算 $S_1,S_3$ 时，直接利用 $x_i=\frac{y_i^2}{2p}$ 将横坐标全部转化为纵坐标运算，能有效避免交叉项无法化简的僵局。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于抛物线的阿基米德三角形及焦点弦性质的演变，通过将定点 $A$ 从焦点推广到轴上任意动点，考查射影几何中的交比或面积的不变性。
2. 结论推广：对于任意圆锥曲线，若定点 $A$ 在对称轴上，且垂线系 $l$ 关于曲线具备某种对称位置，则对应的分割三角形面积之间往往存在固定的平方与乘积比例关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖北卷文-04 单-抛物线焦点正三角形
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值