2009-湖南卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查连续函数的概念、函数图象的动态分析与比较，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 如图，当参数 $\lambda ={\lambda }_1,{\lambda }_2$ 时，连续函数 $y=\frac{x}{1+\lambda x}(x\ge 0)$ 的图象分别对应曲线 $C_1$ 和 $C_2$，则 ()

A. $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2$　　B. $0<{\lambda }_2<{\lambda }_1$　　C. ${\lambda }_1<{\lambda }_2<0$　　D. ${\lambda }_2<{\lambda }_1<0$

🔍【思路分析】

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1. 根据函数在 $x\ge 0$ 上是连续函数的条件，排除分母为 0 的情况，确定 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$。
2. 在图象中任取一个固定的 $x_0>0$，对比两条曲线对应的纵坐标 $y_1,y_2$ 的相对大小。
3. 由 $y=\frac{x}{1+\lambda x}$ 的代数结构分析当 $\lambda$ 增大时 $y$ 的变化趋势，从而得出 ${\lambda }_1$ 与 ${\lambda }_2$ 的大小关系。

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=\frac{x}{1+\lambda x}$ 在 $x\ge 0$ 上是连续函数， 所以分母 $1+\lambda x\ne 0$ 在 $x\ge 0$ 上恒成立，从而可知 $\lambda \ge 0$（若 $\lambda <0$，当 $x=-\frac{1}{\lambda }>0$ 时函数将间断，不符）。排除 C, D 选项。

在同一坐标系中，固定任意一个自变量的值 $x_0>0$， 由图象可知，曲线 $C_2$ 在曲线 $C_1$ 的上方，即对应的纵坐标满足 $y_2>y_1$。 代入解析式得： $\frac{x_0}{1+{\lambda }_2{x}_0}>\frac{x_0}{1+{\lambda }_1{x}_0}$ 由于 $x_0>0$ 且 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$，两边取倒数得： $\frac{1+{\lambda }_2{x}_0}{x_0}<\frac{1+{\lambda }_1{x}_0}{x_0}⟹\frac{1}{x_0}+{\lambda }_2<\frac{1}{x_0}+{\lambda }_1⟹{\lambda }_2<{\lambda }_1$ 结合 $\lambda \ge 0$ 以及曲线均不是直线 $y=x$（即 $\lambda \ne 0$）可知，$0<{\lambda }_2<{\lambda }_1$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数中参数对图象走势的影响，控制变量法在图象对比中的应用。
2. 核心方法：数形结合法，特值/固定变量法。
3. 避坑指南：切忌盲目主观猜测大图象对应大参数。面对复杂的参数分式，采用固定 $x$ 对比 $y$ 值的基本不等式变形最为稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中双曲型非线性回归模型或米氏方程（Michaelis-Menten kinetics）的背景简化版。
2. 结论推广：对于形如 $y=\frac{x}{A+Bx}(x>0)$ 的增长型饱和函数，当 $A$ 固定时，参数 $B$（即本题的 $\lambda$）越大，函数值增长越慢，其饱和渐近线 $y=\frac{1}{B}$ 的位置越低。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性