2009-湖南卷理-07 单-立体几何

本题导读

本题考查异面直线的距离、空间点到直线的距离，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱上到异面直线 $AB,C{C}_1$ 的距离相等的点的个数为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 设正方体的棱长为 1，明确两条异面直线 $AB$ 与 $C{C}_1$ 的相对空间位置。
2. 逐一分类讨论正方体的 12 条棱，分析各棱上的点到这两条直线的距离代数式。
3. 计算满足距离相等条件的解，并合并所有符合要求的点。

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C

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 1。

• 对于棱 $AB$：其上的任意点到 $AB$ 距离为 0，到 $C{C}_1$ 距离不为 0，无符合点。
• 对于棱 $C{C}_1$：其上的任意点到 $C{C}_1$ 距离为 0，到 $AB$ 距离不为 0，无符合点。
• 对于与 $AB$ 或 $C{C}_1$ 相交/平行的其余各棱进行分析：

1. 棱 $BC$：设点 $P$ 在 $BC$ 上，距离 $B$ 为 $x(0\le x\le 1)$。因为 $BC\perp AB$，所以 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $x$；因为 $BC\perp C{C}_1$，所以 $P$ 到 $C{C}_1$ 的距离为 $1-x$。令 $x=1-x⟹x=\frac{1}{2}$。即 $BC$ 的中点 满足条件（1 个点）。
2. 棱 $A_1{D}_1$：$AB\perp$ 平面 $A{A}_1{D}_{1}D$，棱上任一点到 $AB$ 距离为 $\sqrt{1+x^2}$（$x$ 为到 $A_1$ 距离）；$C{C}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，到 $C{C}_1$ 距离为 $\sqrt{1+(1-x{)}^2}$。令 $1+x^2=1+(1-x{)}^2⟹x=\frac{1}{2}$。即 $A_1{D}_1$ 的中点 满足条件（1 个点）。
3. 顶点 $D$（属于棱 $AD,CD,D{D}_1$）：$D$ 到 $AB$ 的距离为 $AD=1$，$D$ 到 $C{C}_1$ 的距离为 $CD=1$，两距离相等。即 顶点 $D$ 满足条件（1 个点）。
4. 顶点 $B_1$（属于棱 $A_1{B}_1,B{B}_1,B_1{C}_1$）：$B_1$ 到 $AB$ 的距离为 $B{B}_1=1$，$B_1$ 到 $C{C}_1$ 的距离为 $B_1{C}_1=1$，两距离相等。即 顶点 $B_1$ 满足条件（1 个点）。

• 经检验，其余各棱或位置上均无其他满足要求的点。 综上所述，共有 4 个点满足要求。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线的公垂线段及空间点到直线的距离计算。
2. 核心方法：模型分步穷举与边界值校验法。
3. 避坑指南：容易把顶点（如 $D$ 和 $B_1$）排除在“棱上”的范畴之外，棱包含其两端顶点；在分析平行或垂直距离时，应借助投影面将空间距离转化为平面几何的勾股定理计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中经典的轨迹与距离问题，源于对空间中到两异面直线距离相等的点的轨迹（单叶双曲面或双曲抛物面）与多面体骨架交点的考查。
2. 结论推广：在棱长为 $a$ 的正方体中，到两相邻垂直异面棱所在直线的距离相等的点的轨迹与正方体表面相交得到的交线中，正好包含对应的两个中点与两个对称顶点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-20 解-异面直线角与体积
• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角
• 2012-上海卷文-19 解-三棱锥体积与异面直线角