2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量法求线线角。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为 $C_1{D}_1$ 的中点，则异面直线 $AE$ 与 $BC$ 所成角的余弦值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：以 $D$ 为原点建系
2. 步骤2：$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BC}|}$

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $1$，以 $D$ 为原点建系：$A=(0,0,0)$？改取 $A$ 为原点更直接：$A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$，$C_1=(1,1,1)$，$D_1=(0,1,1)$，$E=\left(\frac{1}{2},1,1\right)$。

$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2},1,1\right)$，$\overrightarrow{BC}=(0,1,0)$。

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}\times 1}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的向量求法；平移直线入同一顶点的几何法

核心方法：向量法：$\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$，注意 $BC\parallel AD$ 可平移到 $A$ 处用 $\overrightarrow{AD}$ 验证

避坑指南：异面直线所成角范围为 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，余弦取绝对值；$E$ 是 $C_1{D}_1$ 中点，坐标算错半个单位是常见失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体异面直线角与 2012-大纲卷文-16（异面直线所成角）、2012-四川卷文-14（异面直线所成角）同族。

结论推广：推广：中点 $E$ 沿 $C_1{D}_1$ 移动时，$\cos \theta =\frac{|y_E|}{\sqrt{x_E^2+y_E^2+1}}$；当 $E$ 取中点时恰得 $\frac{2}{3}$，是一组常用数据。

方法推广：异面直线角填空：优先建系用向量点积，比几何平移更快且不易错；最后必须取绝对值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-16 填-异面直线所成角
• 2012-四川卷文-14 填-异面直线所成角