2009-湖南卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查平面向量的数量积、余弦定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 在 $△ABC$ 中，已知 $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|=3{\overrightarrow{BC}}^2$，求角 $A,B,C$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量数量积的定义 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A$，由第一等式解出 $\cos A$，从而确定角 $A$。
2. 将边长分别设为 $a,b,c$，由第二等式得到关于三边的一阶齐次关系，再联立余弦定理消元求解边长比例，进而求出角 $B$ 和 $C$。

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角 $A,B,C$ 的大小分别为：$A=\frac{\pi }{6},B=\frac{2\pi }{3},C=\frac{\pi }{6}$ 或 $A=\frac{\pi }{6},B=\frac{\pi }{6},C=\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由平面向量数量积定义，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A$。 代入已知第一个等式得： $2|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A=\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|$ 因为 $|\overrightarrow{AB}|\ne 0,|\overrightarrow{AC}|\ne 0$，两边约去后得： $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{\pi }{6}$。

设 $△ABC$ 的三边 $BC=a,AC=b,AB=c$，代入第二个等式 $\sqrt{3}cb=3a^2$， 可得 $a^2=\frac{\sqrt{3}}{3}bc$。 由余弦定理得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 将 $a^2=\frac{\sqrt{3}}{3}bc$ 和 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入，得： $\frac{\sqrt{3}}{3}bc=b^2+c^2-2bc\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=b^2+c^2-\sqrt{3}bc$ 移项合并同类项得： $b^2+c^2=\frac{4\sqrt{3}}{3}bc$ 两边同除以 $bc$ 得： $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 设 $t=\frac{b}{c}$，则 $t+\frac{1}{t}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$。 解得 $t=\sqrt{3}$ 或 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

• 情况一：当 $\frac{b}{c}=\sqrt{3}$ 时，$b=\sqrt{3}c$。 代入 $a^2=\frac{\sqrt{3}}{3}bc$ 得 $a^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}{c}^2=c^2⟹a=c$。 因为 $a=c$，所以 $C=A=\frac{\pi }{6}$。 则 $B=\pi -A-C=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$。
• 情况二：当 $\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$c=\sqrt{3}b$。 同理可得 $a^2=b^2⟹a=b$。 因为 $a=b$，所以 $B=A=\frac{\pi }{6}$。 则 $C=\pi -A-B=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$。

综上所述，角 $A,B,C$ 的大小分别为： $A=\frac{\pi }{6},B=\frac{2\pi }{3},C=\frac{\pi }{6}$ 或 $A=\frac{\pi }{6},B=\frac{\pi }{6},C=\frac{2\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的代数与几何意义，余弦定理的综合消元，齐次方程解法。
2. 核心方法：两边同除以 $bc$ 构造一元二次方程（或利用 $t+\frac{1}{t}$ 观察法）。
3. 避坑指南：由 $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 求解时极易由于对称性产生漏解，必须全面讨论 $b>c$ 和 $b<c$ 两种可能；写最终结论时要确保 $A,B,C$ 对应清晰。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由高中数学课本中“解三角形”章节的典型边角互化问题，引入向量数量积进行多考点交汇改编而来的高频解答题型。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若满足 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\kappa \cdot B{C}^2$，往往暗示着该三角形为特殊的等腰三角形或含有特定特殊角，可以通过余弦定理直接建立边比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形