2009-福建卷文-16 填-斐波那契报数周期

本题导读

考查递推数列的周期性。所报数列对 $3$ 取模为 $1,1,2,0,2,2,1,0$，周期 $8$，每周期 $2$ 个 $3$ 的倍数；$30=3\times 8+6$，拍手 $3\times 2+1=7$ 次。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ① 第一位同学首次报出的数为 $1$，第二位同学首次报出的数也为 $1$，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 $3$ 的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第 $30$ 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设报出的数列为 $u_n$，则 $u_1=u_2=1$，$u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$（斐波那契数列）。
2. 对 $3$ 取模：前八项为 $1,1,2,0,2,2,1,0$，第九、十项又为 $1,1$，此后每八项循环一次。
3. 每个周期内第 $4$、第 $8$ 个数是 $3$ 的倍数，即每八个数拍手 $2$ 次。
4. $30=3\times 8+6$：三个完整周期共 $6$ 次，余下六项中第 $4$ 项（即第 $28$ 个数）对应模 $0$，再拍手 $1$ 次，共 $7$ 次。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

记所报数列为 $u_1,u_2,\dots$，则 $u_1=u_2=1$，且 $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$。 对 $3$ 取模，前八项依次为 $1,1,2,0,2,2,1,0$，并且第九、十项又依次为 $1,1$， 所以由递推关系可知此后每八项重复这一周期。 因此每八个数中有两个 $3$ 的倍数，分别对应周期中的第 $4$ 个和第 $8$ 个数。 前 $30$ 个数中有三个完整周期和余下六项，所以拍手次数为 $3\times 2+1=7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斐波那契型递推与周期

核心方法：对 $3$ 取模找循环节

避坑指南：模 $3$ 的余数列 $1,1,2,0,2,2,1,0$ 八项一循环，每周期 $2$ 个 $0$；$30=3\times 8+6$，余下六项中第 $4$ 项又是 $0$，故 $3\times 2+1=7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：只涉及”是否整除”的递推计数，取模找周期是通法。

结论推广：周期性由”连续两项唯一确定下一项”保证：两项重复即循环。

方法推广：数 $30=3\times 8+6$ 后，余数部分的计数别漏也别重。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.06 斐波那契数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-06 单-分段递推求值
• 2011-四川卷文-09 单-Sn型递推数列
• 2011-广东卷文-20 解-数列递推与均值