2009-福建卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查补集及其运算、一元二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x|x^2-2x>0\}$, 则 ${\complement }_{U}A$ 等于 ()

A. $\{x|0\le x\le 2\}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|0<x<2\}$

C. $\{x|x<0\text{ 或 }x>2\}$　　　　　　　　　　　D. $\{x|x\le 0\text{ 或 }x\ge 2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解一元二次不等式 $x^2-2x>0$ 确定集合 $A$ 的取值区间。

2. 根据补集的定义，在实数集 $\mathbf{R}$ 中求出不属于集合 $A$ 的部分。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解不等式 $x^2-2x>0$，可得 $x(x-2)>0$， 解得 $x<0$ 或 $x>2$。 所以集合 $A=\{x|x<0\text{ 或 }x>2\}$。 根据补集的定义，在全集 $U=\mathbf{R}$ 中，集合 $A$ 的补集为满足相反条件的部分： ${\complement }_{U}A=\{x|0\le x\le 2\}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的解集形式及补集的求法。

2. 核心方法：数轴法。将集合 $A$ 在数轴上表示出来，余下的部分即为补集。

3. 避坑指南：求补集时要注意边界点的开闭状态。“原集合不包含端点，则补集包含端点”，反之亦然。本题中 $A$ 不包含 0 和 2，故补集必须包含 0 和 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为传统的集合与不等式交汇小题，是历年高考理科卷中用于保障基本得分的基础题。

2. 结论推广：对于一般的一元二次不等式得到的开区间或两头开区间集合，其补集必定为闭区间形式，即 ${\complement }_{\mathbf{R}}\{x|(x-a)(x-b)>0\}=\{x|a\le x\le b\}$ (设 $a<b$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式