2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值

本题导读

考查反函数。$f(1)$ 等于满足 $g(x)=1$ 的 $x$，$g(1)$ 直接代入，两值相加。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知函数 $f(x)$ 的反函数为 $g(x)=1+2\lg x$（$x>0$），则 $f(1)+g(1)=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $f(1)$：解 $g(x)=1$，即 $1+2\lg x=1$。
2. $g(1)=1+2\lg 1=1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $g$ 是 $f$ 的反函数，所以 $f(1)$ 等于满足 $g(x)=1$ 的 $x$。由 $1+2\lg x=1$ 得 $\lg x=0$，即 $x=1$，故 $f(1)=1$。 又 $g(1)=1+2\lg 1=1$。 所以 $f(1)+g(1)=2$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的概念与求值

核心方法：对应关系互逆：$f(a)=b⟺g(b)=a$

避坑指南：求 $f(1)$ 是解 $g(x)=1$，不是把 $1$ 代入某个 $f$ 的表达式；反函数没有显式表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数的定义域值域互换、对应关系互逆是核心概念。

结论推广：$f$ 与 $g$ 互为反函数时，$g(f(x))=x$，$f(g(x))=x$。

方法推广：“原函数过 $(a,b)$ ⟺ 反函数过 $(b,a)$“可快速定位函数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数